Suponha que seja uma aproximação por arredondamento, com algarismos, de . Mostre que
[Sugestão: se dk+1<5, então f l(y)=d1 d2 ldots dk times 10^n. Se dk+1 >= 5, então f l(y)=d1 d2 ldots dk times 10^n+10^n-k] 。
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um número real |y - fl(y)y| e a sua aproximação por arredondamento a 0,5 times 10^-k+1 dígitos significativos, que chamamos de . A tarefa é mostrar que o erro relativo
fica no máximo igual a
O conteúdo envolvido é arredondamento em ponto flutuante, dígitos significativos e erro relativo. Vamos precisar lembrar como funciona o arredondamento decimal e depois calcular o erro máximo que isso gera.
Passo 2
Primeiro, escreve y = d1d2dots dkdk+1dk+2dots times 10^n, na forma normalizada
fl(y) = d1d2dots dk times 10^n
onde fl(y) = l(d1d2dots dk + 1r)times 10^n = d1d2dots dk times 10^n + 10^,n-k e cada é de 0 a 9. Agora, ao arredondar para dígitos (), existem duas situações:
Se , a gente só corta depois do , ou seja
Se , a gente soma uma unidade na última casa que sobra, ficando
Passo 3
Em qualquer dos casos, o máximo que l|y - fl(y)r| ;<=; 0,5 times 10^,n-k pode “errar” em relação a é meio dígito na posição . Na prática isso dá
Explicando: se você corta, o pior é que a parte descartada valha quase ; se você arredonda pra cima, também não passa desse valor.
Passo 4
Agora vem o erro relativo. A gente sabe que y >= d1 times 10^n-1 >= 1 times 10^n-1 = 10^n-1 , por estar normalizado, satisfaz
|y - fl(y)y| ;<=; 0,5 times 10^,n-k10^,n-1 ;=; 0,5 times 10^-k+1