Seja
. Provar que
Passo 1
A questão pede para provar que, para qualquer polinômio P de grau no máximo 2 em [a,b], vale
O conteúdo central envolve interpolação de Lagrange e o conceito de constante de Lebesgue para os nós a, (a+b)/2 e b.
Passo 2
Para tornar a análise mais simples, fazemos a mudança de variável que manda [a,b] em [-1,1]:
de modo que x=(b-a)t/2+(a+b)/2. Defina
Então Q é grau ≤2 em [-1,1] e satisfaz Q(-1)=P(a), Q(0)=P((a+b)/2), Q(1)=P(b). Basta mostrar
Passo 3
Usamos a fórmula de interpolação de Lagrange em t=-1,0,1. Para todo t em [-1,1]:
onde
Passo 4
Definimos a função de Lebesgue
Para t em [0,1] nota-se:
o que dá
Em [-1,0] a função é simétrica e fica 1─t─t². Ambas alcançam máximo em |t|=1/2, com valor
Passo 5
Como |Q(t)|≤\max{|Q(-1)|,|Q(0)|,|Q(1)|}\times\Lambda(t), concluímos que
Voltando à variável x em [a,b], isso é exatamente a desigualdade desejada para P.
Passo 6
final_answer