Seja P in pi2. Provar que
max x in[a, b]|P(x)| <= 54 max |P(a)|,|P(b)|,|P((a+b) / 2)|

Passo 1

A questão pede para provar que, para qualquer polinômio P de grau no máximo 2 em [a,b], vale
maxxin[a,b]|P(x)| <= 54maxl|P(a)|,|P(b)|,|P((a+b)/2)|r
O conteúdo central envolve interpolação de Lagrange e o conceito de constante de Lebesgue para os nós a, (a+b)/2 e b.

Passo 2

Para tornar a análise mais simples, fazemos a mudança de variável que manda [a,b] em [-1,1]:
t=2x-(a+b)b-a,
de modo que x=(b-a)t/2+(a+b)/2. Defina
Q(t)=Pl((b-a)t/2+(a+b)/2r)
Então Q é grau ≤2 em [-1,1] e satisfaz Q(-1)=P(a), Q(0)=P((a+b)/2), Q(1)=P(b). Basta mostrar
maxtin[-1,1]|Q(t)| <= 54max|Q(-1)|,|Q(0)|,|Q(1)|

Passo 3

Usamos a fórmula de interpolação de Lagrange em t=-1,0,1. Para todo t em [-1,1]:
Q(t)=Q(-1),l-1(t)+Q(0),l0(t)+Q(1),l1(t),
onde
l-1(t)=t(t-1)2, l0(t)=1-t^2, l1(t)=t(t+1)2

Passo 4

Definimos a função de Lebesgue
Lambda(t)=|l-1(t)|+|l0(t)|+|l1(t)|
Para t em [0,1] nota-se:
|l-1(t)|=t(1-t)2, l0(t)=1-t^2, l1(t)=t(1+t)2,
o que dá
Lambda(t)=t(1-t)2+(1-t^2)+t(1+t)2=1+t-t^2
Em [-1,0] a função é simétrica e fica 1─t─t². Ambas alcançam máximo em |t|=1/2, com valor
Lambdal(pmtfrac12r)=1+tfrac12-tfrac14=tfrac54

Passo 5

Como |Q(t)|≤\max{|Q(-1)|,|Q(0)|,|Q(1)|}\times\Lambda(t), concluímos que
maxtin[-1,1]|Q(t)|<=54max|Q(-1)|,|Q(0)|,|Q(1)|
Voltando à variável x em [a,b], isso é exatamente a desigualdade desejada para P.

Passo 6

final_answer

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