Seja A=\left[a_{i j}\right] uma matriz 3 \times 3, simétrica e definida positiva. Mostre como obter uma fatoração de Cholesky para A a partir de uma fatoração LU. (3 pontos)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz \displaystyle A\in\mathbb R^{3\times3} que é simétrica e definida positiva. Queremos mostrar como, a partir de uma fatoração LU de A (sem pivoteamento), obter a fatoração de Cholesky
A = R^{T}R,
onde R é triangular superior. Vamos usar o fato de que, para matriz simétrica e definida positiva, a decomposição LU existe sem permutações de linha e depois explorar a simetria para encaixar no formato LDL^{T} e, finalmente, R^{T}R.

Passo 2

Como A é definida positiva, todos os seus menores principais são positivos. Dessa forma existe decomposição
A = L\,U,
onde
L é triangular inferior com diagonal igual a 1,
U é triangular superior,
e não precisamos permutar linhas. Escrevemos então
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \ell_{21} & 1 & 0\\\ \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\\\ 0 & u_{22} & u_{23}\\\\ 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix},
com u_{11},u_{22},u_{33}>0.

Passo 3

Definimos a matriz diagonal
D = \diag\bigl(u_{11},\,u_{22},\,u_{33}\bigr).
Em seguida, escrevemos
U = D\;\widetilde L, \quad\text{onde}\quad \widetilde L = D^{-1}U
é triangular superior com diagonal igual a 1. Então
A = L\,U = L\,D\,\widetilde L.
Por outro lado, como A é simétrica, também vale
A = A^{T} = \bigl(L\,D\,\widetilde L\bigr)^{T} = \widetilde L^{T}\,D\,L^{T}.
Pela unicidade da decomposição LU sem permutações (os fatores teriam que coincidir), concluímos
\widetilde L = L \quad\Longrightarrow\quad U = D\,L^{T}.

Passo 4

Substituindo U=D\,L^{T} na fatoração original A=L\,U, obtemos
A = L\,D\,L^{T}.
Esta já é a chamada decomposição LDL^{T} típica de matrizes simétricas definidas positivas.

Passo 5

Como D é uma matriz diagonal com entradas estritamente positivas, podemos definir
D^{1/2} = \diag\bigl(\sqrt{u_{11}},\,\sqrt{u_{22}},\,\sqrt{u_{33}}\bigr).
Então
A = L\,D\,L^{T} = \bigl(L\,D^{1/2}\bigr)\,\bigl(D^{1/2}\,L^{T}\bigr) = \bigl(D^{1/2}\,L^{T}\bigr)^{T}\,\bigl(D^{1/2}\,L^{T}\bigr).
Portanto, tomando
R = D^{1/2}\,L^{T},
chegamos exatamente à fatoração de Cholesky
A = R^{T}R,
onde R é triangular superior com entradas r_{ii}=\sqrt{u_{ii}}>0.

Resposta

A partir de A=LU sem pivoteamento, definimos D=\diag(u_{11},u_{22},u_{33}), mostramos que U=D\,L^{T} e, em seguida, escrevemos
A = L\,D\,L^{T} = \bigl(D^{1/2}L^{T}\bigr)^{T}\bigl(D^{1/2}L^{T}\bigr),
logo a fatoração de Cholesky é
A = R^{T}R \quad\text{com}\quad R = D^{1/2}\,L^{T}.

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