Seja A=\left[a_{i j}\right] uma matriz 3 \times 3, simétrica e definida positiva. Mostre como obter uma fatoração de Cholesky para A a partir de uma fatoração LU. (3 pontos)
Passo 1
O enunciado dá uma matriz \displaystyle A\in\mathbb R^{3\times3} que é simétrica e definida positiva. Queremos mostrar como, a partir de uma fatoração LU de A (sem pivoteamento), obter a fatoração de Cholesky
A = R^{T}R,
onde R é triangular superior. Vamos usar o fato de que, para matriz simétrica e definida positiva, a decomposição LU existe sem permutações de linha e depois explorar a simetria para encaixar no formato LDL^{T} e, finalmente, R^{T}R.
Passo 2
Como A é definida positiva, todos os seus menores principais são positivos. Dessa forma existe decomposição
A = L\,U,
onde
– L é triangular inferior com diagonal igual a 1,
– U é triangular superior,
e não precisamos permutar linhas. Escrevemos então