Usando o método da eliminação de Gauss resolva algum dos sistemas: ( 3 pontos)
\left\{\begin{array}{r}3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}=1 \\\\ -x_{2}+x_{4}=5 \\\\ -3 x_{2}-5 x_{3}+7 x_{4}=7 \\\\ 2 x_{2}+4 x_{3}=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}-x_{4}=1,\\\\ -\,x_{2}+x_{4}=5,\\\\ -3x_{2}-5x_{3}+7x_{4}=7,\\\\ 2x_{2}+4x_{3}=0, \end{cases}
e pede para usar eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações linha a linha até obter forma triangular superior, depois fazer substituição reversa.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada correspondente às equações na ordem dada:
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 & 1 & 5\\\\ 0 & -3 & -5 & 7 & 7\\\\ 0 & 2 & 4 & 0 & 0 \end{array}\right]
Aqui o pivô em (1,1) é 3 e já não há elementos abaixo dele na coluna 1, então partimos para a coluna 2.

Passo 3

O pivô em (2,2) é -1. Para zerar as entradas de x_{2} nas linhas 3 e 4 fazemos
R_{3}\leftarrow R_{3}-3\,R_{2}, \qquad R_{4}\leftarrow R_{4}+2\,R_{2},
obtendo
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & -5 & 4 & -8\\\\ 0 & 0 & 4 & 2 & 10 \end{array}\right].

Passo 4

O pivô em (3,3) é -5. Para zerar a entrada de x_{3} na linha 4 usamos
R_{4}\leftarrow R_{4}+\frac{4}{5}\,R_{3},
ficando
\left[\begin{array}{cccc|c} 3 & 2 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & -5 & 4 & -8\\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{26}{5} & \tfrac{18}{5} \end{array}\right].

Passo 5

Agora fazemos a substituição reversa:
Da linha 4:
\frac{26}{5}\,x_{4}=\frac{18}{5} \quad\Longrightarrow\quad x_{4}=\frac{18/5}{26/5}=\frac{18}{26}=\frac{9}{13}.
Da linha 3:
-5\,x_{3}+4\,x_{4}=-8 \quad\Longrightarrow\quad -5\,x_{3}+4\cdot\frac{9}{13}=-8 \quad\Longrightarrow\quad -5\,x_{3}=-8-\frac{36}{13}=-\frac{140}{13} \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\frac{140}{65}=\frac{28}{13}.
Da linha 2:
-\,x_{2}+x_{4}=5 \quad\Longrightarrow\quad -\,x_{2}+\frac{9}{13}=5 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=-\Bigl(5-\frac{9}{13}\Bigr)=-\frac{56}{13}.
Da linha 1:
3\,x_{1}+2\,x_{2}+x_{3}-x_{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad 3\,x_{1}=1-2\!\bigl(-\tfrac{56}{13}\bigr)-\tfrac{28}{13}+\tfrac{9}{13} =\frac{106}{13} \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=\frac{106}{39}.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) =\Bigl(\tfrac{106}{39},-\tfrac{56}{13},\tfrac{28}{13},\tfrac{9}{13}\Bigr).

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