Usando o método da eliminação de Gauss resolva algum dos sistemas: ( 3 pontos)
\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=1 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}=3\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1,\\\ x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2,\\\\ 4x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=3, \end{cases}
e pede para resolver usando eliminação de Gauss. Vamos montar operações elementares para zerar variáveis abaixo do pivô e fazer retro-substituição.

Passo 2

Escolhemos a segunda equação como pivô para eliminar x_{1} das outras duas. Aplicamos
\text{E1}\leftarrow \text{E1}-3\,\text{E2},\qquad \text{E3}\leftarrow \text{E3}-4\,\text{E2}.
Em detalhe:
E1: 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1 menos 3\bigl(x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2\bigr)
0\cdot x_{1}+(2-3)x_{2}+(4-6)x_{3}=1-6 \;\Longrightarrow\;-x_{2}-2x_{3}=-5.
E3: 4x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=3 menos 4\bigl(x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2\bigr)
0\cdot x_{1}+(3-4)x_{2}+(-2-8)x_{3}=3-8 \;\Longrightarrow\;-x_{2}-10x_{3}=-5.

Passo 3

Multiplicamos E1′ e E3′ por -1 para simplificar:
\begin{cases} x_{2}+2x_{3}=5,\\\ x_{2}+10x_{3}=5. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda,
(x_{2}+10x_{3}) - (x_{2}+2x_{3}) = 5-5 \;\Longrightarrow\;8x_{3}=0 \;\Longrightarrow\;x_{3}=0.

Passo 4

Com x_{3}=0, da equação x_{2}+2x_{3}=5 obtemos
x_{2}+2\cdot0=5 \;\Longrightarrow\;x_{2}=5.

Passo 5

Finalmente, de x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2 temos
x_{1}+5+2\cdot0=2 \;\Longrightarrow\;x_{1}=-3.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3}) = \bigl(-3,\,5,\,0\bigr).

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