Seja:
A=(lll 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3 )
Através da decomposição L U, calcular o determinante de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz $ A $ de 3x3 e queremos encontrar o determinante dela usando a decomposição $ L \cdot U $. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente fatoração de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a matriz em duas matrizes triangulares (uma inferior $ L $ e outra superior $ U $) e depois usar essa decomposição para calcular o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a decomposição $ L \cdot U $. É quando a matriz $ A $ é escrita como o produto de uma matriz triangular inferior $ L $ (com 1’s na diagonal) e uma matriz triangular superior $ U $. Essa fatoração facilita muitos cálculos, incluindo o determinante.

Passo 3

Vamos começar decompondo a matriz $ A $. A matriz $ A $ é:
A
Queremos encontrar matrices $ L $ e $ U $ tais que $ A = L \cdot U $.

Passo 4

A matriz $ L $ terá a forma:
L
E a matriz $ U $ terá a forma:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1

Passo 5

Multiplicando $ L $ por $ U $, temos:
L
Igualando com $ A $, temos o seguinte sistema de equações:
  1. $ u_{11} = 5 $
  2. $ u_{12} = 2 $
  3. $ u_{13} = 1 $
  4. $ l_{21}u_{11} = 3 $ → $ l_{21} = \frac{3}{5} $
  5. $ l_{21}u_{12} + u_{22} = 1 $ → $ u_{22} = 1 - \frac{3}{5} \times 2 = 1 - \frac{6}{5} = -\frac{1}{5} $
  6. $ l_{21}u_{13} + u_{23} = 4 $ → $ u_{23} = 4 - \frac{3}{5} \times 1 = \frac{17}{5} $
  7. $ l_{31}u_{11} = 1 $ → $ l_{31} = \frac{1}{5} $
  8. $ l_{31}u_{12} + l_{32}u_{22} = 1 $ → $ \frac{1}{5} \times 2 + l_{32} \times (-\frac{1}{5}) = 1 $ → $ \frac{2}{5} - \frac{l_{32}}{5} = 1 $ → $ -\frac{l_{32}}{5} = \frac{3}{5} $ → $ l_{32} = -3 $
  9. $ l_{31}u_{13} + l_{32}u_{23} + u_{33} = 3 $ → $ \frac{1}{5} \times 1 + (-3) \times \frac{17}{5} + u_{33} = 3 $ → $ \frac{1}{5} - \frac{51}{5} + u_{33} = 3 $ → $ -\frac{50}{5} + u_{33} = 3 $ → $ -10 + u_{33} = 3 $ → $ u_{33} = 13 $

Passo 6

Agora, temos todas as entradas de $ L $ e $ U $:
L

Passo 7

Agora, para encontrar o determinante de $ A $, usamos a propriedade de que o determinante de $ A $ é igual ao produto dos determinantes de $ L $ e $ U $. Como $ L $ é uma matriz triangular com 1’s na diagonal, $ \det(L) = 1 $. O determinante de uma matriz triangular superior é o produto dos elementos da diagonal principal.
Então:
A

Resposta

O determinante de $ A $ é $ -13 $.

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