Através da decomposição L U, calcular o determinante de A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz $ A $ de 3x3 e queremos encontrar o determinante dela usando a decomposição $ L \cdot U $. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente fatoração de matrizes. Para resolver, vamos precisar entender como decompor a matriz em duas matrizes triangulares (uma inferior $ L $ e outra superior $ U $) e depois usar essa decomposição para calcular o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a decomposição $ L \cdot U $. É quando a matriz $ A $ é escrita como o produto de uma matriz triangular inferior $ L $ (com 1’s na diagonal) e uma matriz triangular superior $ U $. Essa fatoração facilita muitos cálculos, incluindo o determinante.
Passo 3
Vamos começar decompondo a matriz $ A $. A matriz $ A $ é:
A
Queremos encontrar matrices $ L $ e $ U $ tais que $ A = L \cdot U $.
Passo 4
A matriz $ L $ terá a forma:
L
E a matriz $ U $ terá a forma:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1
Passo 5
Multiplicando $ L $ por $ U $, temos:
L
Igualando com $ A $, temos o seguinte sistema de equações:
Agora, para encontrar o determinante de $ A $, usamos a propriedade de que o determinante de $ A $ é igual ao produto dos determinantes de $ L $ e $ U $. Como $ L $ é uma matriz triangular com 1’s na diagonal, $ \det(L) = 1 $. O determinante de uma matriz triangular superior é o produto dos elementos da diagonal principal.