Para as três questões abaixo, faça a decomposição L U com pivotação parcial da matriz do sistema linear A x=b :\n \n\left[\begin{array}{rrrr}\n0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 4 & 2 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 5 & -3 \\\\ 1 & 2 & 5 & -1\n\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\nx_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\n10 \\\\ 20 \\\\ 30 \\\\ 40\n\end{array}\right]\n
Qual o menor autovalor de U^{-1} ?\n \bigcirc 0,2500\n \bigcirc-0,3636\n \bigcirc-1,3333\n \bigcirc-1,0000\n \bigcirc-0,5714

Passo 1

Resumindo: queremos fazer a fatoração por pivotação parcial
P\,A = L\,U
onde
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & 2\\\\ 4 & 2 & 0 & 1\\\\ -2& 1 & 5 &-3\\\\ 1 & 2 & 5 &-1 \end{pmatrix}
e então achar o menor autovalor de U^{-1}. Como U é triangular superior, seus autovalores são as suas entradas diagonais u_{ii}, e os autovalores de U^{-1} são 1/u_{ii}. Basta, pois, encontrar a diagonal de U após a decomposição com pivotação parcial.

Passo 2

Eliminação na coluna 1 com pivotação: entre \lvert0\rvert,\lvert4\rvert,\lvert-2\rvert,\lvert1\rvert o maior é 4 (linha 2). Troca-se linha 1↔2, e faz-se as eliminações:
P_1A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 2\\\\ 0 & 2 & 5 &-2.5\\\\ 0 & 1.5 &5 &-1.25 \end{pmatrix} ,\quad L^{(1)} = \begin{pmatrix} 1 & & & \\\\ 0 & 1 & & \\\\ -0.5 & & 1 & \\\\ 0.25 & & & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminação na coluna 2 com pivotação: entre \lvert1\rvert,\lvert2\rvert,\lvert1.5\rvert (linhas 2–4) o maior é 2 (linha 3). Troca-se linha 2↔3 (e ajusta-se as entradas já calculadas de L nas colunas anteriores), depois faz-se as eliminações na coluna 2:
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 5 &-2.5\\\\ 0 & 0 & 0.5 & 3.25\\\\ 0 & 0 & 1.25 & 0.625 \end{pmatrix} ,\quad L^{(2)}_{32}=0.5,\;L^{(2)}_{42}=0.75.

Passo 4

Eliminação na coluna 3 com pivotação: entre \lvert0.5\rvert,\lvert1.25\rvert (linhas 3–4) o maior é 1.25 (linha 4). Troca-se linha 3↔4 e elimina-se o elemento abaixo do pivô:
U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\\\ 0 & 2 & 5 &-2.5\\\\ 0 & 0 &1.25 &0.625\\\\ 0 & 0 &0 &3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Os pivôs são u_{11}=4, u_{22}=2, u_{33}=1.25, u_{44}=3. Logo os autovalores de U^{-1} são
\frac1{4}=0{,}25,\quad \frac1{2}=0{,}5,\quad \frac1{1.25}=0{,}8,\quad \frac1{3}\approx0{,}3333.
O menor deles é 0{,}25.

Resposta

0,2500

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