Seja os 4 pontos dados a seguir utilizando a interpolação cúbica achar
:
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos e pede o polinômio cúbico interpolador
que passa por esses pontos e, em seguida, o valor de
em
. Os dados são:
O que se pede explicitamente:
Passo 2
Escolha do método: como os pontos têm abscissas igualmente espaçadas (
, passo
), é muito conveniente usar diferenças finitas e a forma de Newton (interpolação progressiva). Vantagem: cálculo direto dos coeficientes a partir das diferenças, com poucas contas manuais. A forma de Newton para
e
é
onde
. Vou calcular as diferenças e montar esse polinômio.
Passo 3
Calcular as diferenças a partir dos valores
:
Passo 4
Mini-aula curta sobre diferenças e coeficiente cúbico: para um polinômio cúbico com espaçamento
as diferenças de terceira ordem são constantes e vale
Aqui
, portanto
. Isso permite obter
diretamente sem resolver sistema linear.
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Montar o polinômio na forma de Newton usando os valores das diferenças:
Simplificar os coeficientes fatoriais:
Passo 7
Expandir passo a passo para obter a forma padrão. Primeiro expandir os termos em
:
Substituindo:
Agora agrupar termos:
Somando coeficientes iguais:
Passo 8
Voltar para a variável
usando
e expandir para obter coeficientes
. Usar
Substituindo e expandindo:
Somando termo a termo:
portanto
Passo 9
Mini-checagem rápida nos pontos dados (só para garantir):
,
,
,
. Está tudo consistente.
Passo 10
Calcular
. Usar
:
Calcular cada termo:
Somando: