Seja os 4 pontos dados a seguir utilizando a interpolação cúbica achar P_{3}=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+ a_{1} x+a_{0} :
a) (1 ; 4) ;(2 ; 17) ;(3 ; 62) ;(4 ; 157) ; P(2,5)=

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos e pede o polinômio cúbico interpolador P_{3}(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} que passa por esses pontos e, em seguida, o valor de P em x=2,5. Os dados são:
(1;4),\qquad (2;17),\qquad (3;62),\qquad (4;157).
O que se pede explicitamente:
\text{(i) encontrar }P_{3}(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}, \qquad \text{(ii) calcular }P(2,5).

Passo 2

Escolha do método: como os pontos têm abscissas igualmente espaçadas ( 1,2,3,4, passo h=1), é muito conveniente usar diferenças finitas e a forma de Newton (interpolação progressiva). Vantagem: cálculo direto dos coeficientes a partir das diferenças, com poucas contas manuais. A forma de Newton para x_0=1 e h=1 é
P(x)=y_0+\Delta y_0\;t+\frac{\Delta^2 y_0}{2!}\;t(t-1)+\frac{\Delta^3 y_0}{3!}\;t(t-1)(t-2),
onde t=\dfrac{x-x_0}{h}=x-1. Vou calcular as diferenças e montar esse polinômio.

Passo 3

Calcular as diferenças a partir dos valores y:
\begin{array}{l} y_0=4,\quad y_1=17,\quad y_2=62,\quad y_3=157,\\[4pt] \Delta y_0 = y_1-y_0 = 17-4 = 13,\\[4pt] \Delta y_1 = y_2-y_1 = 62-17 = 45,\\[4pt] \Delta y_2 = y_3-y_2 = 157-62 = 95,\\[6pt] \Delta^2 y_0 = \Delta y_1-\Delta y_0 = 45-13 = 32,\\[4pt] \Delta^2 y_1 = \Delta y_2-\Delta y_1 = 95-45 = 50,\\[6pt] \Delta^3 y_0 = \Delta^2 y_1-\Delta^2 y_0 = 50-32 = 18. \end{array}]

Passo 4

Mini-aula curta sobre diferenças e coeficiente cúbico: para um polinômio cúbico com espaçamento h as diferenças de terceira ordem são constantes e vale
\Delta^3 y = 6 a_3 h^3.
Aqui h=1, portanto \Delta^3 y_0=6a_3. Isso permite obter a_3 diretamente sem resolver sistema linear.

Passo 5

Calcular a_3:
a_3=\frac{\Delta^3 y_0}{6}=\frac{18}{6}=3.

Passo 6

Montar o polinômio na forma de Newton usando os valores das diferenças:
t=x-1, \qquad P(x)=4+13\,t+\frac{32}{2}\,t(t-1)+\frac{18}{6}\,t(t-1)(t-2).
Simplificar os coeficientes fatoriais:
P(x)=4+13\,t+16\,t(t-1)+3\,t(t-1)(t-2).

Passo 7

Expandir passo a passo para obter a forma padrão. Primeiro expandir os termos em t:
t(t-1)=t^{2}-t, \qquad t(t-1)(t-2)=t^{3}-3t^{2}+2t.
Substituindo:
P(x)=4+13t+16(t^{2}-t)+3(t^{3}-3t^{2}+2t).
Agora agrupar termos:
P(x)=4 + 13t + 16t^{2}-16t +3t^{3}-9t^{2}+6t.
Somando coeficientes iguais:
P(x)=3t^{3} + (16-9)t^{2} + (13-16+6)t +4 = 3t^{3}+7t^{2}+3t+4.

Passo 8

Voltar para a variável x usando t=x-1 e expandir para obter coeficientes a_3,a_2,a_1,a_0. Usar
t=x-1,\quad t^{2}=x^{2}-2x+1,\quad t^{3}=x^{3}-3x^{2}+3x-1.
Substituindo e expandindo:
\begin{aligned} P(x)&=3(x^{3}-3x^{2}+3x-1)+7(x^{2}-2x+1)+3(x-1)+4\\[4pt] &=3x^{3}-9x^{2}+9x-3+7x^{2}-14x+7+3x-3+4. \end{aligned}
Somando termo a termo:
P(x)=3x^{3}+(-9+7)x^{2}+(9-14+3)x+(-3+7-3+4),
portanto
P(x)=3x^{3}-2x^{2}-2x+5.]

Passo 9

Mini-checagem rápida nos pontos dados (só para garantir): P(1)=3-2-2+5=4, P(2)=24-8-4+5=17, P(3)=81-18-6+5=62, P(4)=192-32-8+5=157. Está tudo consistente.

Passo 10

Calcular P(2,5). Usar x=2,5:
\begin{aligned} P(2,5)&=3(2,5)^{3}-2(2,5)^{2}-2(2,5)+5,\\[4pt] (2,5)^{2}&=6,25,\qquad (2,5)^{3}=15,625,\\[4pt] P(2,5)&=3\cdot15,625 -2\cdot6,25 -2\cdot2,5 +5. \end{aligned}
Calcular cada termo:
3\cdot15,625=46,875,\qquad -2\cdot6,25=-12,5,\qquad -2\cdot2,5=-5.
Somando:
P(2,5)=46,875-12,5-5+5 =46,875-12,5 =34,375.]

Resposta

P_{3}(x)=3x^{3}-2x^{2}-2x+5
P(2,5)=34,375

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