Usando a segunda regra composta de Simpson ( \mathrm{h}=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{10}\left(x^{2}+7 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Calcular a integral \displaystyle I=\int_{1}^{10}\left(x^{2}+7x+5\right)\,dx de forma aproximada usando a segunda regra composta de Simpson com \,h=1.
  • Calcular a integral na forma exata.
  • Determinar o erro da aproximação.
Informações dadas explicitamente:
a=1,\qquad b=10,\qquad h=1.

Passo 2

Vou definir claramente o que significa “segunda regra composta de Simpson” e por que usá-la aqui.
  • A “segunda regra de Simpson” normalmente refere-se à regra de Simpson 3/8 (enquanto a “primeira” é a de 1/3). A forma composta da regra 3/8 aplica-se quando o número de subintervalos n é múltiplo de 3.
  • Calculo n a partir de h:
n=\frac{b-a}{h}=\frac{10-1}{1}=9.
Como n=9 é múltiplo de 3, a regra 3/8 composta é apropriada (a regra 1/3 composta exigiria n par; aqui n é ímpar).
Explicando a regra (didaticamente, passo a passo):
  • Particiona-se o intervalo [a,b] em n subintervalos de comprimento h. Os nós são x_i=a+i h, i=0,\dots,n.
  • Para a regra 3/8 composta (quando n é múltiplo de 3) usa-se a fórmula
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Bigg[f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod{3}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\pmod{3}}}^{n-3} f(x_i)\Bigg].
Explicação dos termos:
  • f(x_0) e f(x_n) são os valores nas extremidades.
  • A soma com coeficiente 3 vai sobre os nós interiores cujos índices não são múltiplos de 3.
  • A soma com coeficiente 2 vai sobre os nós interiores cujos índices são múltiplos de 3 (exceto i=n, que já está em f(x_n)).
  • A constante \dfrac{3h}{8} é o fator que multiplica a combinação linear dos f(x_i).
Observação importante sobre exatidão:
  • A regra 3/8 é exata para polinômios de grau até 3. Nosso integrando é um polinômio de grau 2, então esperamos resultado exato (erro zero).

Passo 3

Calcular os valores de f(x)=x^{2}+7x+5 nos nós x_i=a+i h com i=0,\dots,9. Aqui os nós são x_0=1,x_1=2,\dots,x_9=10. Computei cada valor explicitamente:
\begin{aligned} f(1)&=1^{2}+7\cdot1+5=13,\\\ f(2)&=2^{2}+7\cdot2+5=23,\\\ f(3)&=3^{2}+7\cdot3+5=35,\\\ f(4)&=4^{2}+7\cdot4+5=49,\\\ f(5)&=5^{2}+7\cdot5+5=65,\\\ f(6)&=6^{2}+7\cdot6+5=83,\\\ f(7)&=7^{2}+7\cdot7+5=103,\\\ f(8)&=8^{2}+7\cdot8+5=125,\\\ f(9)&=9^{2}+7\cdot9+5=149,\\\ f(10)&=10^{2}+7\cdot10+5=175. \end{aligned}

Passo 4

Aplicando a fórmula composta com h=1 e n=9. Primeiro identifique os grupos de somas:
  • f(x_0)+f(x_n)=f(1)+f(10)=13+175=188.
  • Índices não múltiplos de 3 entre 1 e 8: i=1,2,4,5,7,8. A soma correspondente:
\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv0\pmod{3}}}^{8} f(x_i)=f(2)+f(3)+f(5)+f(6)+f(8)+f(9) =23+35+65+83+125+149=480.
(atenção: aqui usei f(2),f(3),\dots seguindo a indexação x_i=1+i, os valores foram calculados no passo anterior)
  • Índices múltiplos de 3 entre 3 e n-3=6: i=3,6. A soma correspondente:
\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv0\pmod{3}}}^{6} f(x_i)=f(4)+f(7)=49+103=152.
Agora aplico a fórmula
\int_{1}^{10} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Big[\,f(1)+f(10)+3\cdot(480)+2\cdot(152)\Big].
Substituindo h=1:
\int_{1}^{10} f(x)\,dx \approx \frac{3}{8}\big[188+1440+304\big] =\frac{3}{8}\cdot 1932.
Calcule:
\frac{3}{8}\cdot 1932=\frac{5796}{8}=724{,}5.
Portanto a aproximação pela segunda regra composta de Simpson (regra 3/8 composta) com h=1 é \;724{,}5.

Passo 5

Calcular a integral exata por antiderivação (a parte teórica: integrar polinômio termo a termo).
A primitiva de f(x)=x^{2}+7x+5 é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{7x^{2}}{2}+5x.
Avalio em 1 e em 10:
F(10)=\frac{10^{3}}{3}+\frac{7\cdot10^{2}}{2}+5\cdot10=\frac{1000}{3}+350+50=\frac{1000}{3}+400,
F(1)=\frac{1}{3}+\frac{7}{2}+5=\frac{53}{6}.
Subtraindo:
\int_{1}^{10} f(x)\,dx = F(10)-F(1)=\left(\frac{1000}{3}+400\right)-\frac{53}{6}=\frac{4347}{6}=\frac{1449}{2}=724{,}5.

Passo 6

Determinar o erro:
  • Teoria: o termo de erro local da regra 3/8 em um painel é proporcional a f^{(4)}(\xi); em particular, para a regra 3/8 composta o erro total pode ser escrito como
E = -\frac{(b-a)\,h^{4}}{80}\,f^{(4)}(\xi)
para algum \xi\in[a,b]. A consequência prática: se f^{(4)}(x)=0 em [a,b], o erro é exatamente zero.
  • No nosso caso f(x)=x^{2}+7x+5 tem derivadas sucessivas f^{(3)}(x)=0 e f^{(4)}(x)=0 identicamente. Logo o erro é
E=0.
Interpretação: como a regra 3/8 é exata para polinômios de grau até 3, e nosso integrando é de grau 2, a aproximação coincide com a integral exata.

Resposta

Aproximação (segunda regra composta de Simpson, h=1): 724{,}5
Valor exato: \dfrac{1449}{2}=724{,}5
Erro: 0

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