Usando a segunda regra composta de Simpson (
), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Calcular a integral
de forma aproximada usando a segunda regra composta de Simpson com . - Calcular a integral na forma exata.
- Determinar o erro da aproximação.
Informações dadas explicitamente:
Passo 2
Vou definir claramente o que significa “segunda regra composta de Simpson” e por que usá-la aqui.
- A “segunda regra de Simpson” normalmente refere-se à regra de Simpson 3/8 (enquanto a “primeira” é a de
). A forma composta da regra 3/8 aplica-se quando o número de subintervalos é múltiplo de . - Calculo
a partir de :
Como
é múltiplo de
, a regra 3/8 composta é apropriada (a regra 1/3 composta exigiria
par; aqui
é ímpar).
Explicando a regra (didaticamente, passo a passo):
- Particiona-se o intervalo
em subintervalos de comprimento . Os nós são , . - Para a regra 3/8 composta (quando
é múltiplo de ) usa-se a fórmula
Explicação dos termos:
-
e são os valores nas extremidades. - A soma com coeficiente
vai sobre os nós interiores cujos índices não são múltiplos de . - A soma com coeficiente
vai sobre os nós interiores cujos índices são múltiplos de (exceto , que já está em ). - A constante
é o fator que multiplica a combinação linear dos .
Observação importante sobre exatidão:
- A regra 3/8 é exata para polinômios de grau até
. Nosso integrando é um polinômio de grau , então esperamos resultado exato (erro zero).
Passo 3
Calcular os valores de
nos nós
com
. Aqui os nós são
. Computei cada valor explicitamente:
Passo 4
Aplicando a fórmula composta com
e
. Primeiro identifique os grupos de somas:
-
- Índices não múltiplos de
entre e : . A soma correspondente:
(atenção: aqui usei
seguindo a indexação
, os valores foram calculados no passo anterior)
- Índices múltiplos de
entre e : . A soma correspondente:
Agora aplico a fórmula
Substituindo
:
Calcule:
Portanto a aproximação pela segunda regra composta de Simpson (regra 3/8 composta) com
é
Passo 5
Calcular a integral exata por antiderivação (a parte teórica: integrar polinômio termo a termo).
A primitiva de é
A primitiva de
Avalio em
e em
:
Subtraindo:
Passo 6
Determinar o erro:
- Teoria: o termo de erro local da regra 3/8 em um painel é proporcional a
; em particular, para a regra 3/8 composta o erro total pode ser escrito como
para algum
. A consequência prática: se
em
, o erro é exatamente zero.
- No nosso caso
tem derivadas sucessivas e identicamente. Logo o erro é
Interpretação: como a regra 3/8 é exata para polinômios de grau até
, e nosso integrando é de grau
, a aproximação coincide com a integral exata.
Resposta
Aproximação (segunda regra composta de Simpson,
):
Valor exato:
Erro:
Valor exato:
Erro: