Usando a segunda regra composta de Simpson (
), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a segunda regra composta de Simpson com
, e também determinar a forma exata da integral e o erro entre a aproximação e o valor exato. Informações dadas e pedidos:
- Intervalo de integração:
. - Passo (tamanho do subintervalo):
. - Pedidos:
- Valor aproximado de
usando a regra composta de Simpson com . - Valor exato de
(integral exata). - Determinar o erro (diferença entre aproximado e exato) e interpretar (se possível, pela fórmula do erro).
- Valor aproximado de
Passo 2
Explicando a regra composta de Simpson (a “segunda regra composta” mencionada):
- Suponha que o intervalo
é dividido em subintervalos iguais de comprimento , com par. Os pontos são . - A fórmula composta de Simpson é
Aqui cada termo significa:
-
é o tamanho do subintervalo. -
e são os valores nos extremos. - A soma com coeficiente
é sobre índices ímpares (os pontos médios de pares de subintervalos). - A soma com coeficiente
é sobre índices pares internos (exceto os extremos). - Importante: precisa que
seja par. A regra é exata para polinômios de grau até 3 (isto é, Simpson integra exatamente polinômios de grau ).
Passo 3
Calcular
e os pontos com
:
-
, . Então
que é par, portanto podemos aplicar a fórmula.
Os pontos são .
Os pontos são
Calcular os valores de
em cada nó (faça na prova igualzinho, passo a passo):
Passo 4
Aplicar a fórmula composta de Simpson com
. Primeiro organize as somas:
-
- Soma dos
com ímpar: - Soma dos
com par internos:
Agora a fórmula:
Substituindo
e as somas:
Calcule os termos:
Portanto
Portanto a aproximação de Simpson com
é
Passo 5
Calcular a integral exata (integrar explicitamente o polinômio):
- Antiderivada de
é
porque
,
e
.
Avalie
em
e em
:
Compute passo a passo: usar denominador comum
se quiser, mas é mais direto subtrair numericamente de forma exata em frações:
Agrupando:
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto o valor exato da integral é
Passo 6
Determinar o erro:
- Erro numérico (diferença entre aproximação de Simpson e valor exato):
- Pelo ponto de vista teórico: a fórmula de erro composta de Simpson é
para algum
. Aqui
tem derivadas:
Como
para todo
, a fórmula de erro prevê exatamente
. Isso concorda com o cálculo direto: Simpson é exato para polinômios de grau até
, e nossa função é de grau
.
Resposta
Aproximação (Simpson composta,
):\ \
Valor exato da integral:\ \
Erro:\ \
Valor exato da integral:\ \
Erro:\ \