Usando a segunda regra composta de Simpson ( \mathrm{h}=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+x+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+x+3\right)\,dx
usando a segunda regra composta de Simpson com h=1, e também determinar a forma exata da integral e o erro entre a aproximação e o valor exato. Informações dadas e pedidos:
  • Intervalo de integração: [1,7].
  • Passo (tamanho do subintervalo): h=1.
  • Pedidos:
    1. Valor aproximado de I usando a regra composta de Simpson com h=1.
    2. Valor exato de I (integral exata).
    3. Determinar o erro (diferença entre aproximado e exato) e interpretar (se possível, pela fórmula do erro).

Passo 2

Explicando a regra composta de Simpson (a “segunda regra composta” mencionada):
  • Suponha que o intervalo [a,b] é dividido em n subintervalos iguais de comprimento h, com n par. Os pontos são x_0=a, x_1=a+h, \dots, x_n=b.
  • A fórmula composta de Simpson é
S=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)\Big).í
Aqui cada termo significa:
  • h é o tamanho do subintervalo.
  • f(x_0) e f(x_n) são os valores nos extremos.
  • A soma com coeficiente 4 é sobre índices ímpares (os pontos médios de pares de subintervalos).
  • A soma com coeficiente 2 é sobre índices pares internos (exceto os extremos).
  • Importante: precisa que n seja par. A regra é exata para polinômios de grau até 3 (isto é, Simpson integra exatamente polinômios de grau \leq 3).

Passo 3

Calcular n e os pontos com h=1:
  • a=1, b=7. Então
n=\frac{b-a}{h}=\frac{7-1}{1}=6,
que é par, portanto podemos aplicar a fórmula.
Os pontos são x_0=1,x_1=2,x_2=3,x_3=4,x_4=5,x_5=6,x_6=7.
Calcular os valores de f(x)=x^{2}+x+3 em cada nó (faça na prova igualzinho, passo a passo):
\begin{aligned} f(1)&=1^{2}+1+3=5,\\\ f(2)&=2^{2}+2+3=4+2+3=9,\\\ f(3)&=3^{2}+3+3=9+3+3=15,\\\ f(4)&=4^{2}+4+3=16+4+3=23,\\\ f(5)&=5^{2}+5+3=25+5+3=33,\\\ f(6)&=6^{2}+6+3=36+6+3=45,\\\ f(7)&=7^{2}+7+3=49+7+3=59. \end{aligned}

Passo 4

Aplicar a fórmula composta de Simpson com h=1. Primeiro organize as somas:
  • f(x_0)+f(x_n)=f(1)+f(7)=5+59=64.
  • Soma dos f(x_i) com i ímpar: i=1,3,5\Rightarrow f(2)+f(4)+f(6)=9+23+45=77.
  • Soma dos f(x_i) com i par internos: i=2,4\Rightarrow f(3)+f(5)=15+33=48.
Agora a fórmula:
S=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{i\\ \text{ímpar}}f(x_i)+2\sum_{i\\ \text{par}}f(x_i)\Big).í
Substituindo h=1 e as somas:
S=\frac{1}{3}\big(64+4\cdot77+2\cdot48\big).
Calcule os termos:
4\cdot77=308,\qquad 2\cdot48=96,\qquad 64+308+96=468.
Portanto
S=\frac{1}{3}\cdot 468 = 156.
Portanto a aproximação de Simpson com h=1 é \,156.

Passo 5

Calcular a integral exata (integrar explicitamente o polinômio):
  • Antiderivada de f(x)=x^{2}+x+3 é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+3x,
porque \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2}, \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=x e \frac{d}{dx}(3x)=3.
Avalie F em 7 e em 1:
\begin{aligned} F(7)&=\frac{7^{3}}{3}+\frac{7^{2}}{2}+3\cdot7=\frac{343}{3}+\frac{49}{2}+21,\\\ F(1)&=\frac{1^{3}}{3}+\frac{1^{2}}{2}+3\cdot1=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+3. \end{aligned}
Compute passo a passo: usar denominador comum 6 se quiser, mas é mais direto subtrair numericamente de forma exata em frações:
F(7)-F(1)=\left(\frac{343}{3}+\frac{49}{2}+21\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+3\right).
Agrupando:
=\frac{343-1}{3}+\frac{49-1}{2}+(21-3)=\frac{342}{3}+\frac{48}{2}+18.
Calcule cada termo:
\frac{342}{3}=114,\qquad \frac{48}{2}=24,\qquad 18=18.
Somando:
114+24+18=156.
Portanto o valor exato da integral é \,156.

Passo 6

Determinar o erro:
  • Erro numérico (diferença entre aproximação de Simpson e valor exato):
\text{Erro} = S - I = 156 - 156 = 0.
  • Pelo ponto de vista teórico: a fórmula de erro composta de Simpson é
E_{S}=-\frac{(b-a)}{180}\,h^{4}\,f^{(4)}(\xi)
para algum \xi\in(a,b). Aqui f(x)=x^{2}+x+3 tem derivadas:
f''(x)=2,\quad f^{(3)}(x)=0,\quad f^{(4)}(x)=0.
Como f^{(4)}(x)=0 para todo x, a fórmula de erro prevê exatamente E_{S}=0. Isso concorda com o cálculo direto: Simpson é exato para polinômios de grau até 3, e nossa função é de grau 2.

Resposta

Aproximação (Simpson composta, h=1):\ \ 156
Valor exato da integral:\ \ 156
Erro:\ \ 0

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