Seja o sistema linear
Resolva o sistema utilizando o Método de Jacobi com
x^0=(0.7,-1.6,0.6)^t
e varepsilon=10^-2 .
Passo 1
Então, o exercício pede para resolver o sistema linear
usando o Método de Jacobi, a partir da aproximação inicial
e parar quando a norma infinita da diferença entre iterações for menor que
Conteúdo principal: métodos iterativos de solução de sistemas, em particular o Método de Jacobi. Vamos precisar de:
- Verificar se o método converge (dominância diagonal).
- Escrever as fórmulas de iteração de Jacobi.
- Aplicar as fórmulas para gerar
até satisfazer o critério de parada.x^(1), x^(2),dots
Passo 2
Teoria e fórmulas do Método de Jacobi:
- Se a matriz dos coeficientes tiver dominância diagonal estrita, o método converge. Aqui as diagonais são 10, 5 e 10, e nas linhas temos
- |10| > |2|+|−1| = 3,
- |5| > |1|+|1| = 2,
- |10| > |2|+|3| = 5
→ logo, converge.
- As fórmulas gerais de Jacobi para cada iteração
sãokto k+1
- Critério de parada:
Passo 3
Primeira iteração (
k=0to1 ), usando
x^(0)=(0.7,,-1.6,,0.6) :
Diferença infinita:
ainda não paramos.
Passo 4
Segunda e terceira iterações:
Para
k=1to2 , com
x^(1)=(1.08,,-1.86,,0.94) :
Para
k=2to3 , com
x^(2)=(1.166,,-2.004,,0.942) :
Passo 5
Quarta e quinta iterações, até atingir
varepsilon :
Para
k=3to4 , com
x^(3)=(1.195,,-2.0216,,0.968) :
Para
k=4to5 , com
x^(4)=(1.20112,,-2.0326,,0.96748) :
e
Pronto! A partir de
x^(5) já atendemos
varepsilon=10^-2 .
Resposta
A solução aproximada pelo Método de Jacobi é