Seja o sistema linear
l 10 x1+2 x2-x3=7 x1+5 x2+x3=-8 2 x1+3 x2+10 x3=6
Resolva o sistema utilizando o Método de Jacobi com x^0=(0.7,-1.6,0.6)^t e varepsilon=10^-2.

Passo 1

Então, o exercício pede para resolver o sistema linear
10x1 + 2x2 - x3 = 7, x1 + 5x2 + x3 = -8, 2x1 + 3x2 + 10x3 = 6,
usando o Método de Jacobi, a partir da aproximação inicial
x^(0)=(0.7,,-1.6,,0.6)^T
e parar quando a norma infinita da diferença entre iterações for menor que
varepsilon = 10^-2,
Conteúdo principal: métodos iterativos de solução de sistemas, em particular o Método de Jacobi. Vamos precisar de:
  1. Verificar se o método converge (dominância diagonal).
  2. Escrever as fórmulas de iteração de Jacobi.
  3. Aplicar as fórmulas para gerar x^(1), x^(2),dots até satisfazer o critério de parada.

Passo 2

Teoria e fórmulas do Método de Jacobi:
  1. Se a matriz dos coeficientes tiver dominância diagonal estrita, o método converge. Aqui as diagonais são 10, 5 e 10, e nas linhas temos
    • |10| > |2|+|−1| = 3,
    • |5| > |1|+|1| = 2,
    • |10| > |2|+|3| = 5
      → logo, converge.
  2. As fórmulas gerais de Jacobi para cada iteração kto k+1 são
x1^(k+1) = 110l(7 ;-;2,x2^(k) ;+;x3^(k)r), x2^(k+1) = 15l(-8 ;-;x1^(k) ;-;x3^(k)r), x3^(k+1) = 110l(6 ;-;2,x1^(k) ;-;3,x2^(k)r)
  1. Critério de parada:
|x^(k+1) - x^(k)|infty =maxil|xi^(k+1)-xi^(k)r| <10^-2

Passo 3

Primeira iteração ( k=0to1), usando x^(0)=(0.7,,-1.6,,0.6):
x1^(1) &= 110l(7 -2(-1.6)+0.6r) = 110(7 +3.2+0.6)=1.08, x2^(1) &= 15l(-8 -0.7 -0.6r) = -9.35=-1.86, x3^(1) &= 110l(6 -2(0.7) -3(-1.6)r) = 110(6 -1.4+4.8)=0.94
Diferença infinita:
|x^(1)-x^(0)|infty =max,|1.08-0.7|,;|-1.86+1.6|,;|0.94-0.6| =0.38>0.01,
ainda não paramos.

Passo 4

Segunda e terceira iterações:
Para k=1to2, com x^(1)=(1.08,,-1.86,,0.94):
x1^(2) &= tfrac110(7 -2(-1.86)+0.94)=1.166, x2^(2) &= tfrac15(-8 -1.08 -0.94)=-2.004, x3^(2) &= tfrac110(6 -2(1.08) -3(-1.86))=0.942, |x^(2)-x^(1)|infty=0.144>0.01
Para k=2to3, com x^(2)=(1.166,,-2.004,,0.942):
x1^(3) &= tfrac110(7 -2(-2.004)+0.942)=1.195, x2^(3) &= tfrac15(-8 -1.166 -0.942)=-2.0216, x3^(3) &= tfrac110(6 -2(1.166) -3(-2.004))=0.968, |x^(3)-x^(2)|infty=0.029>0.01

Passo 5

Quarta e quinta iterações, até atingir varepsilon:
Para k=3to4, com x^(3)=(1.195,,-2.0216,,0.968):
x1^(4) &= tfrac110(7 -2(-2.0216)+0.968)=1.20112, x2^(4) &= tfrac15(-8 -1.195 -0.968)=-2.0326, x3^(4) &= tfrac110(6 -2(1.195) -3(-2.0216))=0.96748, |x^(4)-x^(3)|infty=0.011>0.01
Para k=4to5, com x^(4)=(1.20112,,-2.0326,,0.96748):
x1^(5) &= tfrac110(7 -2(-2.0326)+0.96748)=1.203268, x2^(5) &= tfrac15(-8 -1.20112 -0.96748)=-2.03372, x3^(5) &= tfrac110(6 -2(1.20112) -3(-2.0326))=0.969556,
e
|x^(5)-x^(4)|infty =max,|1.203268-1.20112|,;|-2.03372+2.0326|,;|0.969556-0.96748| =0.002148<0.01
Pronto! A partir de x^(5) já atendemos varepsilon=10^-2.

Resposta

A solução aproximada pelo Método de Jacobi é
boxedxapprox(1.2033,;-2.0337,;0.9696)^T,

Exercícios relacionados