Sejam
A=[cccc 16 & 4 & 8 & 4 4 & 10 & 8 & 4 8 & 8 & 12 & 10 4 & 4 & 10 & 12 ] e b=[c 32 26 38 30 ]
Mostre que A é positiva definida e calcule o fator de Cholesky.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a matriz
A= 16 & 4 & 8 & 4 4 & 10 & 8 & 4 8 & 8 & 12 &10 4 & 4 &10 &12 e o vetor b=32263830
O que a gente tem que fazer: (1) mostrar que é positiva definida e (2) calcular o fator de Cholesky dessa matriz.
Matéria: Álgebra Linear/Análise Numérica.
O que vamos usar:
  • Critério de Sylvester (checar que todos os determinantes principais crescentes são positivos) pra garantir positiva definição.
  • Algoritmo de Cholesky (decompor com triangular inferior) pra achar o fator.

Passo 2

Primeiro, a matriz é simétrica ( ). Pelo critério de Sylvester, basta checar os determinantes dos blocos principais:
1×1, 2×2, 3×3 e 4×4 (que é o ). Se todos forem , é positiva definida.

Passo 3

Vamos calcular os menores principais:
  1. D2=det16&44&10 =16cdot10-4cdot4=160-16=144>0
D3=det 16&4&84&10&88&8&12 =16,(10cdot12-8cdot8) -4,(4cdot12-8cdot8) +8,(4cdot8-10cdot8) =896+64-384=576>0
  1. O também dá positivo (quem já fez conta dá ).
    Logo todos são positivos, então é positiva definida.

Passo 4

Agora, querermos A = L,L^T, L= ell11&0&0&0 ell21&ell22&0&0 ell31&ell32&ell33&0 ell41&ell42&ell43&ell44 triangular inferior com
ell11^2=16;Rightarrow;ell11=4, ell21,ell11=4;Rightarrow;ell21=1,
Da primeira linha/coluna vem
ell31,ell11=8;Rightarrow;ell31=2, ell41,ell11=4;Rightarrow;ell41=1

Passo 5

Agora os elementos da segunda coluna (posição ell21^2+ell22^2=10 ;Rightarrow;1^2+ell22^2=10 ;Rightarrow;ell22=3 ):
ell31,ell21+ell32,ell22=8 ;Rightarrow;2cdot1+3,ell32=8 ;Rightarrow;ell32=2
ell41,ell21+ell42,ell22=4 ;Rightarrow;1cdot1+3,ell42=4 ;Rightarrow;ell42=1

Passo 6

Terceira coluna (posição ell31^2+ell32^2+ell33^2=12 ;Rightarrow;2^2+2^2+ell33^2=12 ;Rightarrow;ell33=2 e ell41,ell31+ell42,ell32+ell43,ell33=10 ;Rightarrow;1cdot2+1cdot2+2,ell43=10 ;Rightarrow;ell43=3 ):

Passo 7

Por fim, o último elemento ell41^2+ell42^2+ell43^2+ell44^2=12 ;Rightarrow;1+1+9+ell44^2=12 ;Rightarrow;ell44=1 vem de

Resposta

A matriz L= 4&0&0&0 1&3&0&0 2&2&2&0 1&1&3&1 , é positiva definida (todos os menores principais ) e seu fator de Cholesky é
de modo que .

Exercícios relacionados