Sejam os dados:
|c|c|c|c|c|c| hline$xi$ & 1,0 & 2,0 & 3,0 & 5,0 & 6,0 hline$f(xi)$ & 4,75 & 4,00 & 5,25 & 19,75 & 36,00 hline 1,0 2,0 3,0 5,0 6,0
f(4) 4,75 4,00 5,25 19,75 36,00
Estime através de um polinômio de terceira ordem utilizando a forma de Newton.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra estimar usando um polinômio de grau 3 (cúbico) na forma de Newton. Esse conteúdo é interpolação polinomial por diferenças divididas de Newton. Para resolver:
  • Vamos escolher 4 pontos próximos de para reduzir erro.
  • Calcular a “tabela” de diferenças divididas (1ª, 2ª e 3ª ordem).
  • Montar o polinômio de Newton e avaliá-lo em .

Passo 2

Escolha dos pontos: olhando as abscissas f(x0)=4.00,; f(x1)=5.25,; f(x2)=19.75,; f(x3)=36.00 , os 4 mais próximos de 4 são f[xi,xj]=f(xj)-f(xi)xj-xi , , , , com:
Teoria rápida: a diferença dividida de 1ª ordem entre dois pontos é
E em ordem superior a gente faz a mesma ideia “por cima” das diferenças mais baixas.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de 1ª ordem:
f[x0,x1]&=5.25-4.003-2=1.25, f[x1,x2]&=19.75-5.255-3=7.25, f[x2,x3]&=36.00-19.756-5=16.25

Passo 4

Diferenças divididas de 2ª ordem:
f[x0,x1,x2] &=f[x1,x2]-f[x0,x1]5-2 =7.25-1.253=2.00, f[x1,x2,x3] &=f[x2,x3]-f[x1,x2]6-3 =16.25-7.253=3.00
Diferença dividida de 3ª ordem:
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]6-2 =3.00-2.004=0.25

Passo 5

Agora o polinômio de Newton de grau 3 fica:
P3(x)=f(x0) +f[x0,x1],(x-2) +f[x0,x1,x2],(x-2)(x-3) +f[x0,x1,x2,x3],(x-2)(x-3)(x-5)
Substituindo os coeficientes:
P3(x)=4.00 +1.25,(x-2) +2.00,(x-2)(x-3) +0.25,(x-2)(x-3)(x-5)

Passo 6

Basta avaliar em P3(4)&=4.00 +1.25,(4-2) +2.00,(4-2)(4-3) +0.25,(4-2)(4-3)(4-5) &=4.00+1.25cdot2+2.00cdot2cdot1+0.25cdot2cdot1cdot(-1) &=4.00+2.50+4.00-0.50=10.00 :

Resposta

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