Sejam x e y números reais positivos. Se
x^2+2 x y+y^2=16 e x^3-3 x^2 y+3 x y^2-y^3=27
então 2(2 x+y) é igual a :

Passo 1

Beleza, temos dois números reais positivos x^2 + 2xy + y^2 = 16 e x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = 27 e que satisfazem estas duas igualdades:
O que a gente precisa encontrar é .
Conteúdo: aqui vamos usar a ideia de identidades algébricas de soma e diferença de termos (quadrado de soma e cubo de diferença).

Passo 2

Olha só a primeira:
x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
Essa é a famosa fórmula (x + y)^2 = 16 Longrightarrow x + y = 4 . Como deu 16, temos
(escolhemos o sinal positivo porque ).

Passo 3

Agora a segunda:
x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
isso é exatamente a expansão de (x - y)^3 = 27 Longrightarrow x - y = 3 .
Como iguala 27, vem
(de novo pegamos o valor positivo pois estamos falando de reais positivos).

Passo 4

Agora a gente tem um sistema bem simples:
x + y = 4, x - y = 3
Basta somar as duas equações:
(x+y) + (x-y) = 4 + 3 Longrightarrow 2x = 7 Longrightarrow x = tfrac72 = 3,5
E daí .

Passo 5

Falta só calcular o que pedem:
2,(2x + y) = 2l(2cdot 3,5 + 0,5r) = 2l(7 + 0,5r) = 2 times 7,5 = 15

Resposta

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