Sendo \bar{a} e \bar{b} os respectivos representantes de \sqrt[4]{8014} e \sqrt[4]{8012} em F, qual destas estratégias seria preferível para calcular esse valor?
Ousar
\bar{a}-\bar{b}
com precisão precisão dupla.
Ousar
\frac{2}{(\bar{a})^{3}+(\bar{a})^{2} \bar{b}+\bar{a}(\bar{b})^{2}+(\bar{b})^{3}}
com precisão simples.
Ousar
\frac{2}{\bar{a}+\bar{b}}
com precisão dupla.
Ousar
\bar{a}-\bar{b}
com precisão precisão simples.
Ousar
\exp (\ln \bar{a} /(\varepsilon+\ln \bar{b}))
com precisão simples.

Passo 1

O enunciado pede para computar
\sqrt[4]{8014}-\sqrt[4]{8012}
onde \bar a e \bar b são as aproximações em F de \sqrt[4]{8014} e \sqrt[4]{8012}. Isto é um problema de subtração entre dois números muito próximos, o que pode causar grande cancelamento de dígitos na subtração direta.

Passo 2

Se fizermos
\bar a-\bar b
diretamente, as duas quantidades são da ordem de
\sqrt[4]{8013}\approx 6{,}7
e a diferença é cerca de
\Delta\approx \frac{2}{4\,(6{,}7)^3}\approx1,7\times10^{-3}.
Ao subtrairmos duas quantidades em torno de 6{,}7 para obter 1{,}7\times10^{-3}, perdemos muitos dígitos significativos (cancelamento).

Passo 3

Para evitar cancelamento, usamos a identidade
\bar a^4-\bar b^4=(\bar a-\bar b)\bigl(\bar a^3+\bar a^2\bar b+\bar a\bar b^2+\bar b^3\bigr).
Como \bar a^4-\bar b^4=8014-8012=2, obtemos
\bar a-\bar b=\frac{2}{\bar a^3+\bar a^2\bar b+\bar a\bar b^2+\bar b^3}.

Passo 4

No denominador não há subtrações entre termos de mesmo tamanho, apenas produtos e somas de números da ordem de (6{,}7)^3\approx300. Essas operações são estáveis e não geram cancelamento significativo, mesmo em precisão simples.

Passo 5

Conclusão de análise de precisão:
  • A subtração direta \bar a-\bar b exige pelo menos precisão dupla para reduzir o cancelamento.
  • A forma racionalizada \frac{2}{\bar a^3+\bar a^2\bar b+\bar a\bar b^2+\bar b^3}não sofre cancelamento e pode ser feita com segurança em precisão simples.

Resposta

Usar
\frac{2}{(\bar{a})^{3}+(\bar{a})^{2}\bar{b}+\bar{a}(\bar{b})^{2}+(\bar{b})^{3}}
com precisão simples.

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