A mais velha possui o somatório da idade das duas mais novas.
A criança de idade intermediária tem dois anos a mais do que a criança mais nova.
Multiplicando a idade da criança mais nova por 3 e subtraindo 3 anos desse resultado, encontra-se a idade da criança mais velha.
Responda os itens a seguir:
(a) Monte o sistema linear para representar as idades das crianças.
(b) A decomposição LU pode ser executada para essa matriz de coeficientes? Justifique. Caso positivo, mostre as matrizes L e U.
(c) Diga se é possível resolver o sistema a partir do método iterativo de Jacobi. Justifique.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) montar um sistema linear que represente as idades das três crianças;
(b) dizer se a decomposição LU pode ser executada para a matriz de coeficientes e, em caso positivo, mostrar as matrizes L e U;
(c) dizer se é possível resolver o sistema usando o método iterativo de Jacobi, com justificativa.
Informações dadas (cada linha é um dado do enunciado):
A criança mais velha tem a soma das idades das duas mais novas.
A criança de idade intermediária tem dois anos a mais que a criança mais nova.
A criança mais velha é igual a três vezes a idade da mais nova menos 3 anos.
Esses são os dados completos que vamos usar para montar e analisar o sistema.
Passo 2
Definimos variáveis (escolha natural para a prova):
x = \text{idade da criança mais velha},\qquad y = \text{idade da criança intermediária},\qquad z = \text{idade da criança mais nova}.
Agora traduzo cada frase do enunciado para uma equação em x,y,z, sem resolver ainda.
Passo 3
Traduzindo as frases para equações:
“A mais velha possui o somatório da idade das duas mais novas” vira
x = y + z.
Reescrevendo como equação linear padrão:
x - y - z = 0.
“A criança de idade intermediária tem dois anos a mais do que a criança mais nova” vira
y = z + 2,
ou
y - z = 2.
“Multiplicando a idade da criança mais nova por 3 e subtraindo 3 anos desse resultado, encontra-se a idade da criança mais velha” vira
x = 3z - 3,
ou
x - 3z = -3.
Passo 4
Escrevendo o sistema na forma matricial A\mathbf{u}=\mathbf{b} com \mathbf{u}=(x,y,z)^{T}:
\begin{cases} x - y - z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + y - z = 2,\\[4pt] x + 0\cdot y -3z = -3, \end{cases}
Vamos analisar se a decomposição LU sem pivotamento pode ser executada. Um critério simples (suficiente e prático para aplicar à mão) é verificar os menores principais superiores (leading principal minors): se todos forem diferentes de zero, a decomposição LU (no esquema de Doolittle, sem permutações) existe.
Calculo dos menores principais:
Primeiro menor (1×1): \det\bigl(\begin{smallmatrix}1\end{smallmatrix}\bigr)=1\neq0.
Segundo menor (2×2, canto superior esquerdo): \det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot(-1)=1\neq0.
Como exercício prático (útil para a prova), resolvo o sistema usando LU — isso mostra também que a decomposição é funcional: primeiro L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição para encontrar \mathbf{y}, depois U\mathbf{u}=\mathbf{y}.
Da última equação: -1\cdot z = -5 \implies z=5.
Da segunda: y - z = 2 \implies y -5 = 2 \implies y=7.
Da primeira: x - y - z = 0 \implies x -7 -5 =0 \implies x=12.
Portanto as idades são x=12, y=7, z=5. (Confere com as frases originais: 12=7+5, 7=5+2, 12=3\cdot5-3.)]
Passo 9
Agora, sobre o método de Jacobi: explico o critério e aplico ao nosso sistema.
Resumo didático do método de Jacobi (de forma simples):
Se A é a matriz dos coeficientes, escrevemos A=D-(L+U), onde D é a diagonal de A e L,U são as partes estritamente triangular inferior e superior (sinais conforme convenção). A iteração de Jacobi pode ser escrita como
O fator B_J := D^{-1}(L+U) é a matriz de iteração. Uma condição necessária e suficiente para convergência para todo chute inicial é que o raio espectral \rho(B_J)<1. Uma condição simples suficiente (mas não necessária) é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas.
Passo 10
Calculo concreto para nosso A:
Diagonal D=\operatorname{diag}(1,1,-3). Então
Como nem todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes (linha 1 falha, linha 2 é apenas fraca), a condição suficiente de dominância estrita não é satisfeita — isto não prova que Jacobi falha, apenas que não podemos garantir convergência por esse critério simples.]
Passo 11
Para decidir de forma definitiva, calculo o raio espectral de B_J. Determino o polinômio característico de B_J:
Esse polinômio tem exatamente uma raiz real no intervalo (0,1) (cheque rápido: para \lambda=0 o polinômio vale -1, para \lambda=1 vale 1, logo há um zero entre 0 e 1); numericamente essa raiz real é aproximadamente \lambda_1\approx 0,8519. As outras duas raízes são conjugadas complexas; usando o produto das raízes (que é -d/a para a\lambda^3+b\lambda^2+c\lambda+d) temos
\lambda_1\lambda_2\lambda_3 = \frac{1}{3}.
Com \lambda_1\approx 0{,}8519 segue que |\lambda_2|=|\lambda_3|\approx\sqrt{\tfrac{1/3}{0{,}8519}}\approx 0{,}6267. Assim todos os autovalores têm módulo menor que 1, e portanto
Conclusão: a condição necessária e suficiente para convergência da iteração de Jacobi é satisfeita; o método de Jacobi converge para este sistema (apesar da falta de dominância estrita em todas as linhas).]
Resposta
(a) \begin{cases}
x - y - z = 0,\\[4pt]
y - z = 2,\\[4pt]
x - 3z = -3,
\end{cases} ou matricialmente \displaystyle \begin{pmatrix}1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 0 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 2\\[4pt] -3\end{pmatrix}.
(b) Sim. A decomposição LU sem pivotamento existe; uma possível decomposição é
(c) Sim, é possível usar Jacobi: a matriz de iteração é \displaystyle B_{J}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] \tfrac{1}{3} & 0 & 0\end{pmatrix} cujo raio espectral é \rho(B_J)\approx 0{,}8519<1, logo a iteração de Jacobi converge para a solução.]