Suponha que tenhamos um valor aproximado de 1,000004 para um valor exato de 1,000005 . Calcular os erros absoluto, relativo e percentual para este caso.

Passo 1

O enunciado dá um valor aproximado e o valor exato. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que é pedido:
  • Valor aproximado: \tilde{x} = 1{,}000004.
  • Valor exato: x = 1{,}000005.
O que pedem:
  • Calcular o erro absoluto.
  • Calcular o erro relativo.
  • Calcular o erro percentual.

Passo 2

Definição e cálculo do erro absoluto.
  • Definição: o erro absoluto é a diferença em valor absoluto entre o aproximado e o exato. Em fórmula:
\text{erro absoluto} = \left|\tilde{x}-x\right|.
  • Aplicando aos números dados:
\text{erro absoluto} = \left|1{,}000004 - 1{,}000005\right| = 0{,}000001.
  • Em potências de dez fica mais claro: 0{,}000001 = 10^{-6}.

Passo 3

Definição e cálculo do erro relativo.
  • Definição: o erro relativo é o erro absoluto dividido pelo valor exato (normaliza o erro ao tamanho da quantidade):
\text{erro relativo} = \frac{\text{erro absoluto}}{\left|x\right|}.
  • Substituindo:
\text{erro relativo} = \frac{10^{-6}}{1{,}000005}.
  • Uma forma exata conveniente para fazer à mão é escrever 1{,}000005 = 1{,}000{,}005\times10^{-6}. Assim
\text{erro relativo} = \frac{10^{-6}}{1{,}000{,}005\times10^{-6}} = \frac{1}{1{,}000{,}005}.
  • Aproximação decimal (usar expansão ou divisão curta):
\frac{1}{1{,}000{,}005}\approx 9{,}99995\times10^{-7}.

Passo 4

Cálculo do erro percentual.
  • Definição: erro percentual é o erro relativo multiplicado por 100\%:
\text{erro percentual} = 100\%\times\text{erro relativo}.
  • Usando a forma exata:
\text{erro percentual} = 100\%\times\frac{1}{1{,}000{,}005}=\frac{100}{1{,}000{,}005}\%.
  • Aproximação decimal:
\frac{100}{1{,}000{,}005}\% \approx 9{,}99995\times10^{-5}\%.

Passo 5

Interpretação rápida e dica de prova:
  • O erro absoluto \,10^{-6}\, mostra quanto falta em unidades absolutas — muito pequeno.
  • O erro relativo \,\dfrac{1}{1{,}000{,}005}\, é a forma exata e serve para comparar com outros problemas: nesse caso é aproximadamente 10^{-6} também, porque o número é perto de 1.
  • Na prova, se pedirem com quantas casas ou em notação científica, prefira apresentar tanto a forma exata (fração) quanto a aproximação em potências de dez.

Resposta

\text{Erro absoluto} = 10^{-6}
\text{Erro relativo} = \dfrac{1}{1{,}000{,}005} \approx 9{,}99995\times10^{-7}
\text{Erro percentual} = \dfrac{100}{1{,}000{,}005}\% \approx 9{,}99995\times10^{-5}\%

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