Na tabela a seguir temos os valores do preço unitário
na compra de
unidades de um produto em uma indústria. Fazendo a escolha adequada dos pontos, encontre o que se pede em cada item.
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0 | 1 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 | 5000 | 10000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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0 | 2,75 | 2,65 | 2,50 | 2,30 | 2,25 | 2,10 | 2,00 | 1,80 |
Um polinômio interpolador de grau 2 para prever o preço unitário de 2000 unidades.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente construir um polinômio de grau 2 (ou seja, quadrático) que interpole três pontos da tabela de preço unitário
em função da quantidade
, e depois usar esse polinômio pra “chutar” o preço de
.
Matéria envolvida: interpolação polinomial (fórmula de Lagrange). A gente vai precisar:
Matéria envolvida: interpolação polinomial (fórmula de Lagrange). A gente vai precisar:
- Escolher três pontos “legais” da tabela (de preferência que fiquem de ambos os lados de 2000, ou bem pertinho),
- Montar o polinômio de Lagrange,
- Avaliar em
.
Passo 2
Vamos escolher os pontos mais adequados para prever em
. Queremos um intervalo que englobe 2000 e fique relativamente próximo dele. Os pontos escolhidos serão:
Justificativa rápida: 1000 e 5000 ficam logo abaixo e acima de 2000, respectivamente, e 10000 garante o segundo ponto acima pra fazer o grau 2. Assim 2000 está entre 1000 e 5000, evitando um chute muito exótico.
Passo 3
Agora a gente monta o polinômio de Lagrange de grau 2:
onde, para cada
,
Aqui
Passo 4
Vamos calcular cada
e multiplicar por
.
- Para
( , ):
- Para
( , ):
- Para
( , ):
Passo 5
Basta somar os três termos:
Resposta
O preço unitário previsto para a compra de 2000 unidades, usando o polinômio interpolador de grau 2 pelos pontos escolhidos, é aproximadamente