Na tabela a seguir temos os valores do preço unitário p na compra de n unidades de um produto em uma indústria. Fazendo a escolha adequada dos pontos, encontre o que se pede em cada item.
n 0 1 10 50 100 500 1000 5000 10000
p 0 2,75 2,65 2,50 2,30 2,25 2,10 2,00 1,80
Um polinômio interpolador de grau 2 para prever o preço unitário de 2000 unidades.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente construir um polinômio de grau 2 (ou seja, quadrático) que interpole três pontos da tabela de preço unitário em função da quantidade , e depois usar esse polinômio pra “chutar” o preço de .
Matéria envolvida: interpolação polinomial (fórmula de Lagrange). A gente vai precisar:
  1. Escolher três pontos “legais” da tabela (de preferência que fiquem de ambos os lados de 2000, ou bem pertinho),
  2. Montar o polinômio de Lagrange,
  3. Avaliar em .

Passo 2

Vamos escolher os pontos mais adequados para prever em (1000,;2,10), (5000,;2,00), (10000,;1,80) . Queremos um intervalo que englobe 2000 e fique relativamente próximo dele. Os pontos escolhidos serão:
Justificativa rápida: 1000 e 5000 ficam logo abaixo e acima de 2000, respectivamente, e 10000 garante o segundo ponto acima pra fazer o grau 2. Assim 2000 está entre 1000 e 5000, evitando um chute muito exótico.

Passo 3

Agora a gente monta o polinômio de Lagrange de grau 2:
P(x)=p1,ell1(x)+p2,ell2(x)+p3,ell3(x),
onde, para cada elli(x) =prodsubstackj=1jneq i^3 x - xjxi - xj ,
(x1,p1)=(1000,2,10),; (x2,p2)=(5000,2,00),; (x3,p3)=(10000,1,80)
Aqui

Passo 4

Vamos calcular cada ell1(2000) =(2000-5000)(2000-10000)(1000-5000)(1000-10000) =(-3000)(-8000)(-4000)(-9000) =24;000;00036;000;000 =0,6666667 e multiplicar por p1,ell1(2000) =2,10times0,6666667 approx1,400 .
  1. Para ell2(2000) =(2000-1000)(2000-10000)(5000-1000)(5000-10000) =(1000)(-8000)(4000)(-5000) =-8;000;000-20;000;000 =0,4 ( p2,ell2(2000) =2,00times0,4 =0,800 , ell3(2000) =(2000-1000)(2000-5000)(10000-1000)(10000-5000) =(1000)(-3000)(9000)(5000) =-3;000;00045;000;000 =-0,0666667 ):
p3,ell3(2000) =1,80times(-0,0666667) approx-0,120
  1. Para ( , ):
  1. Para ( , ):

Passo 5

Basta somar os três termos:
P(2000) =1,400 + 0,800 - 0,120 =2,080

Resposta

O preço unitário previsto para a compra de 2000 unidades, usando o polinômio interpolador de grau 2 pelos pontos escolhidos, é aproximadamente
boxed2,08

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