A taxa de crescimento populacional de uma bactéria é dada por f(t)=e^{0,3 t}, onde t é medido em horas. Estime o crescimento populacional total entre 0 e 4 horas usando:
  • a) Regra do Trapézio com n=4.
  • b) Regra de Simpson com n=4.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de crescimento populacional de uma bactéria
f(t)=e^{0,3\,t},
e pede para estimar o crescimento total
\int_{0}^{4}f(t)\,\mathrm{d}t
usando a regra do Trapézio e a regra de Simpson com n=4. O conteúdo é integração numérica por regras compostas.

Passo 2

Como a=0, b=4 e n=4, o passo é
h=\frac{b-a}{n}=\frac{4-0}{4}=1.
Os nós e seus valores são:
\begin{aligned} t_0&=0,& f_0&=e^{0}=1,\\\ t_1&=1,& f_1&=e^{0,3}\approx1,3499,\\\ t_2&=2,& f_2&=e^{0,6}\approx1,8221,\\\ t_3&=3,& f_3&=e^{0,9}\approx2,4600,\\\ t_4&=4,& f_4&=e^{1,2}\approx3,3201. \end{aligned}

Passo 3

Pela regra do Trapézio composta:
T=\frac{h}{2}\Bigl(f_0+2(f_1+f_2+f_3)+f_4\Bigr).
Substituindo h=1 e os valores:
T =\frac{1}{2}\bigl(1+2(1,3499+1,8221+2,4600)+3,3201\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(15,5841\bigr) \approx7,7921.

Passo 4

Pela regra de Simpson composta:
S=\frac{h}{3}\Bigl(f_0+4(f_1+f_3)+2f_2+f_4\Bigr).
Substituindo h=1 e os valores:
S =\frac{1}{3}\bigl(1+4(1,3499+2,4600)+2\cdot1,8221+3,3201\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(23,2039\bigr) \approx7,7346.

Resposta

(a) T\approx7,7921
(b) S\approx7,7346

Exercícios relacionados