Use o método de Newton-Raphson para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que 10^{-5}.
(b) f(x)=\cos x-x, \quad x_{0}=1

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a(s) raiz(es) da função f(x)=\cos x - x usando o método de Newton–Raphson, partindo de x_{0}=1, até obter erro absoluto menor que 10^{-5}.
Informações fornecidas:
  • Função: f(x)=\cos x - x.
  • Palpite inicial: x_{0}=1.
  • Tolerância de erro absoluto desejada: 10^{-5}.
O que precisa ser entregue: uma aproximação da raiz com erro absoluto (estimado) menor que 10^{-5}.

Passo 2

Vamos explicar o método de Newton–Raphson de forma clara e prática.
Ideia (intuitiva): em cada iteração substitui-se a curva por sua reta tangente no ponto atual x_n e toma-se a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação x_{n+1}. Isso costuma convergir rápido quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz.
Fórmula do método:
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • x_n é a aproximação atual;
  • f(x_n) é o valor da função no ponto x_n;
  • f'(x_n) é a derivada de f no ponto x_n;
  • x_{n+1} é a próxima aproximação.
Para a nossa função, calculamos a derivada:
f'(x) = -\sin x - 1.
Observações práticas:
  • Antes de aplicar a fórmula, é bom checar que f'(x_n) não é zero (a divisão deve ser bem definida).
  • Como critério prático de parada (já que a raiz exata é desconhecida), usamos a diferença entre iterações sucessivas como estimativa do erro absoluto: parar quando |x_{n+1}-x_n| < 10^{-5}. Esse é um procedimento padrão e razoável em provas.

Passo 3

Agora aplicamos o método a partir de x_0=1. Em cada iteração mostro f(x_n), f'(x_n), o incremento \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}, o novo x_{n+1} e a diferença |x_{n+1}-x_n|.
Iteração 0 → 1:
\begin{aligned} x_0 &= 1,\\[4pt] f(x_0) &= \cos(1)-1 \approx 0{,}5403023058681398 - 1 = -0{,}4596976941318602,\\[4pt] f'(x_0) &= -\sin(1)-1 \approx -0{,}8414709848078965 - 1 = -1{,}8414709848078965,\\[4pt] \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} &\approx \frac{-0{,}4596976941318602}{-1{,}8414709848078965} \approx 0{,}2496361321597561,\\[4pt] x_1 &= x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \approx 1 - 0{,}2496361321597561 = 0{,}7503638678402439,\\[4pt] |x_1-x_0| &\approx 0{,}2496361321597561. \end{aligned}
Iteração 1 → 2:
\begin{aligned} x_1 &\approx 0{,}7503638678402439,\\[4pt] f(x_1) &= \cos(x_1)-x_1 \approx 0{,}7316888688738209 - 0{,}7503638678402439 = -0{,}0186749989664230,\\[4pt] f'(x_1) &= -\sin(x_1)-1 \approx -0{,}681621 - 1 \approx -1{,}681621\\ (\text{aprox.}),\\[4pt] \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} &\approx \frac{-0{,}0186749989664230}{-1{,}681621} \approx 0{,}0112509769288826,\\[4pt] x_2 &= x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 0{,}7503638678402439 - 0{,}0112509769288826 = 0{,}7391128909113613,\\[4pt] |x_2-x_1| &\approx 0{,}0112509769288826. \end{aligned}
Iteração 2 → 3:
\begin{aligned} x_2 &\approx 0{,}7391128909113613,\\[4pt] f(x_2) &= \cos(x_2)-x_2 \approx 0{,}739200... - 0{,}7391128909113613 \approx -0{,}0000277575260773\\ (\text{aprox.}),\\[4pt] f'(x_2) &= -\sin(x_2)-1 \approx -1{,}673...,\\[4pt] \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} &\approx 0{,}0000277575260773\\ (\text{aprox.}),\\[4pt] x_3 &= x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} \approx 0{,}7391128909113613 - 0{,}0000277575260773 = 0{,}7390851333852840,\\[4pt] |x_3-x_2| &\approx 0{,}0000277575260773. \end{aligned}
Observação: após a segunda iteração a diferença já caiu para cerca de 2{,}8\times 10^{-5}, ainda maior que 10^{-5}. Como o método é de convergência rápida (quadrática aqui), uma iteração adicional costuma ser suficiente.
Iteração 3 → 4:
\begin{aligned} x_3 &\approx 0{,}7390851333852840,\\[4pt] f(x_3) &= \cos(x_3)-x_3 \approx -1{,}70123\times 10^{-10}\\ (\text{próximo de zero}),\\[4pt] f'(x_3) &= -\sin(x_3)-1 \approx -1{,}673...,\\[4pt] \frac{f(x_3)}{f'(x_3)} &\approx 1{,}70123\times 10^{-10}\\ (\text{aprox.}),\\[4pt] x_4 &= x_3 - \frac{f(x_3)}{f'(x_3)} \approx 0{,}7390851333852840 - 1{,}70123\times 10^{-10} \\\ &\approx 0{,}7390851332151607,\\[4pt] |x_4-x_3| &\approx 1{,}7\times 10^{-10} < 10^{-5}. \end{aligned}ó
Conclusão das iterações: na transição x_3 \to x_4 obtivemos |x_4-x_3| \approx 1{,}7\times 10^{-10}, que é muito menor que a tolerância exigida 10^{-5}. Portanto podemos aceitar x_4 como aproximação da raiz com o erro solicitado.]

Passo 4

Comentário prático final (dicas para prova):
  • Sempre escreva a fórmula de Newton: \displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
  • Calcule f'(x) explicitamente antes de iterar (aqui f'(x)=-\sin x-1).
  • Use como critério de parada |x_{n+1}-x_n|<\varepsilon quando a raiz verdadeira não for conhecida.
  • Guarde algumas casas decimais em cada etapa para não acumular erro de arredondamento.
  • Se precisar, mostre duas ou três iterações completas na prova (como feito aqui) e comente o critério de parada.

Resposta

x \approx 0{,}7390851332151607 (aproximação com erro absoluto menor que 10^{-5}).

Exercícios relacionados