Use o método de Newton-Raphson para aproximar as raízes indicadas com erro absoluto menor que
.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a(s) raiz(es) da função
usando o método de Newton–Raphson, partindo de
, até obter erro absoluto menor que
.
Informações fornecidas:
- Função:
. - Palpite inicial:
. - Tolerância de erro absoluto desejada:
.
O que precisa ser entregue: uma aproximação da raiz com erro absoluto (estimado) menor que
.
Passo 2
Vamos explicar o método de Newton–Raphson de forma clara e prática.
Ideia (intuitiva): em cada iteração substitui-se a curva por sua reta tangente no ponto atual
e toma-se a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação
. Isso costuma convergir rápido quando a aproximação inicial está razoavelmente perto da raiz.
Fórmula do método:
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função no ponto ; -
é a derivada de no ponto ; -
é a próxima aproximação.
Para a nossa função, calculamos a derivada:
Observações práticas:
- Antes de aplicar a fórmula, é bom checar que
não é zero (a divisão deve ser bem definida). - Como critério prático de parada (já que a raiz exata é desconhecida), usamos a diferença entre iterações sucessivas como estimativa do erro absoluto: parar quando
. Esse é um procedimento padrão e razoável em provas.
Passo 3
Agora aplicamos o método a partir de
. Em cada iteração mostro
,
, o incremento
, o novo
e a diferença
.
Iteração 0 → 1:
Iteração 1 → 2:
Iteração 2 → 3:
Observação: após a segunda iteração a diferença já caiu para cerca de
, ainda maior que
. Como o método é de convergência rápida (quadrática aqui), uma iteração adicional costuma ser suficiente.
Iteração 3 → 4:
Conclusão das iterações: na transição
obtivemos
, que é muito menor que a tolerância exigida
. Portanto podemos aceitar
como aproximação da raiz com o erro solicitado.]
Passo 4
Comentário prático final (dicas para prova):
- Sempre escreva a fórmula de Newton:
. - Calcule
explicitamente antes de iterar (aqui ). - Use como critério de parada
quando a raiz verdadeira não for conhecida. - Guarde algumas casas decimais em cada etapa para não acumular erro de arredondamento.
- Se precisar, mostre duas ou três iterações completas na prova (como feito aqui) e comente o critério de parada.