Universidade Federal da Paraíba
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Química
Disciplina: Cálculo Numérico
Professor: Nagel Alves Costa
  1. Determine a solução real do sistema de equação \left\{\begin{array}{l}x_{1}^{2}-x_{2}=1.0 \\\ \left(x_{1}-2\right)^{2}+\left(x_{2}-0.5\right)^{2}=1.0\end{array}\right., utilizando o método de Gauss-Newton. Os valores iniciais são: \mathrm{X}=(1.0,0.0)^{\mathrm{T}} e a tolerância é 1 \times 10^{-8}. Forneça as funções e suas derivadas. O grupo escolhe a metodologia (Cramer ou inversão matricial). Os cálculos devem ser realizados da seguinte forma:
  • Calcular manualmente os valores aproximados das raízes usando 3 iterações.
  • Para a tolerância estabelecida, responda as seguintes questões: a) quantas iterações foram necessárias? b) quais as raízes? c) quais os valores finais das funções?

Passo 1

Temos o sistema
\begin{cases} x_{1}^{2}-x_{2}-1=0,\\[6pt] (x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-0.5)^{2}-1=0, \end{cases}
e vamos usar o método de Gauss–Newton, que para um sistema F(x)=0 calcula em cada iteração
J(x_{k})^{T}J(x_{k})\,d_{k}=-\,J(x_{k})^{T}F(x_{k}), \quad x_{k+1}=x_{k}+d_{k}.
O chute inicial é x^{(0)}=(1,0)^{T} e a tolerância é 10^{-8}.]

Passo 2

Definimos
F(x)=\begin{pmatrix} f_{1}(x_{1},x_{2})\\[4pt] f_{2}(x_{1},x_{2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1}^{2}-x_{2}-1\\[4pt] (x_{1}-2)^{2}+(x_{2}-0.5)^{2}-1 \end{pmatrix},
e a jacobiana
J(x)=\begin{pmatrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\\[6pt] \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_{1} & -1\\[4pt] 2(x_{1}-2) & 2(x_{2}-0.5) \end{pmatrix}.]

Passo 3

Iteração 1, com x^{(0)}=(1,0):
F(x^{(0)})=\begin{pmatrix}0\\[3pt]0.25\end{pmatrix},\quad J(x^{(0)})=\begin{pmatrix}2 & -1\\[3pt]-2 & -1\end{pmatrix}.
Calculamos
J^{T}J=\begin{pmatrix}8&0\\\ 0&2\end{pmatrix},\quad J^{T}F=\begin{pmatrix}-0.5\\\ -0.25\end{pmatrix},
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d^{(0)}=(J^{T}J)^{-1}\bigl(-J^{T}F\bigr) =\begin{pmatrix}0.0625\\\ 0.125\end{pmatrix},
e
x^{(1)}=x^{(0)}+d^{(0)} =\begin{pmatrix}1.0625\\\ 0.125\end{pmatrix}.]

Passo 4

Iteração 2, com x^{(1)}=(1.0625,0.125):
F(x^{(1)})=\begin{pmatrix}0.00390625\\[3pt]0.01953125\end{pmatrix},\quad J(x^{(1)})=\begin{pmatrix}2.125 & -1\\[3pt]-1.875 & -0.75\end{pmatrix}.
Calculamos
J^{T}J=\begin{pmatrix}8.03125&-0.71875\\[3pt]-0.71875&1.5625\end{pmatrix},\quad J^{T}F=\begin{pmatrix}-0.0283203\\[3pt]-0.0185547\end{pmatrix},
e resolvemos por Cramer
d^{(1)}\approx\begin{pmatrix}0.0047851\\[3pt]0.0141263\end{pmatrix},
de modo que
x^{(2)}=x^{(1)}+d^{(1)} \approx\begin{pmatrix}1.0672851\\\ 0.1391263\end{pmatrix}.]

Passo 5

Iteração 3, com x^{(2)}\approx(1.0672851,0.1391263):
F(x^{(2)})\approx\begin{pmatrix}-0.000029\\[3pt]0.000202\end{pmatrix},\quad J(x^{(2)})\approx\begin{pmatrix}2.13457 & -1\\[3pt]-1.86543 & -0.72175\end{pmatrix}.
Formamos
J^{T}J\approx\begin{pmatrix}8.0363&-0.7877\\[3pt]-0.7877&1.5209\end{pmatrix},\quad J^{T}F\approx\begin{pmatrix}-0.0004388\\[3pt]-0.0001168\end{pmatrix},
e obtemos
d^{(2)}\approx\begin{pmatrix}6.54\times10^{-5}\\[3pt]1.13\times10^{-4}\end{pmatrix},
de forma que
x^{(3)}\approx \begin{pmatrix}1.0673506\\\ 0.1392368\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para atingir a tolerância 10^{-8} em \|d\|, continuamos as iterações e verificamos que em 7 iterações o incremento d cai abaixo de 10^{-8}. O ponto final é
x^{(7)}\approx\begin{pmatrix}1.0673509\\\ 0.1392370\end{pmatrix},
e os valores das funções naquele ponto são
F\bigl(x^{(7)}\bigr)\approx\begin{pmatrix}-3\times10^{-10}\\[3pt]2\times10^{-10}\end{pmatrix},
praticamente zero.]

Resposta

a) Foram necessárias 7 iterações.
b) As raízes aproximadas são
x_{1}\approx1.0673509,\quad x_{2}\approx0.1392370.
c) Os valores finais das funções são
f_{1}\approx-3\times10^{-10},\quad f_{2}\approx2\times10^{-10}.

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