Usado o método de Euler, encontrar soluções aproximadas para os seguintes problemas:
Sendo y^{\prime}(x)=-2 x y(x), y(0)=1, encontrar solução aproximada para y(0,6), usando passos h=0.6,0.3,0.2 e 0.1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(x) = -2\,x\,y(x),\quad y(0)=1
e pede aproximações para y(0,6) usando o método de Euler com os passos h=0,6, 0,3, 0,2 e 0,1. O conteúdo é método numérico para EDOs e vamos precisar da fórmula iterativa de Euler.

Passo 2

O método de Euler aproxima a solução por
y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n,y_n),
onde aqui f(x,y)=-2\,x\,y. Partindo de x_0=0, y_0=1, calculamos sucessivamente até x=0,6.

Passo 3

Para h=0,6 temos N = 0,6/0,6 = 1 passo.
Calcule
f(x_0,y_0) = -2\cdot 0\cdot 1 = 0,
y_1 = y_0 + 0,6\cdot 0 = 1.
Logo, y(0,6)\approx y_1 = 1.

Passo 4

Para h=0,3 temos N = 0,6/0,3 = 2 passos.
  1. Em x_0=0, y_0=1:
f_0 = -2\cdot 0\cdot 1 = 0,\quad y_1 = 1 + 0,3\cdot 0 = 1.
  1. Em x_1=0,3, y_1=1:
f_1 = -2\cdot 0,3\cdot 1 = -0,6,\quad y_2 = 1 + 0,3\cdot(-0,6) = 1 - 0,18 = 0,82.
Logo, y(0,6)\approx y_2 = 0,82.

Passo 5

Para h=0,2 temos N = 0,6/0,2 = 3 passos.
  1. x_0=0, y_0=1 \;\Rightarrow y_1=1.
  2. x_1=0,2, y_1=1 \;\Rightarrow
f_1=-2\cdot0,2\cdot1=-0,4,\quad y_2 = 1 + 0,2\cdot(-0,4) = 0,92.
  1. x_2=0,4, y_2=0,92 \;\Rightarrow
f_2=-2\cdot0,4\cdot0,92=-0,736,\quad y_3 = 0,92 + 0,2\cdot(-0,736) = 0,7728.
Assim, y(0,6)\approx y_3 = 0,7728.

Passo 6

Para h=0,1 temos N = 0,6/0,1 = 6 passos.
Iterando:
\begin{aligned} &x_0=0,\;y_0=1\quad\Rightarrow\quad y_1=1,\\\ &x_1=0,1,\;y_1=1\quad\Rightarrow\quad f_1=-0,2,\;y_2=0,98,\\\ &x_2=0,2,\;y_2=0,98\quad\Rightarrow\quad f_2=-0,392,\;y_3=0,9408,\\\ &x_3=0,3,\;y_3=0,9408\quad\Rightarrow\quad f_3=-0,56448,\;y_4=0,884352,\\\ &x_4=0,4,\;y_4=0,884352\quad\Rightarrow\quad f_4=-0,7074816,\;y_5=0,81360384,\\\ &x_5=0,5,\;y_5=0,81360384\quad\Rightarrow\quad f_5=-0,81360384,\;y_6=0,732243456. \end{aligned}
Portanto, y(0,6)\approx y_6 = 0,732243456.

Resposta

com h=0,6: y(0,6)\approx 1
com h=0,3: y(0,6)\approx 0,82
com h=0,2: y(0,6)\approx 0,7728
com h=0,1: y(0,6)\approx 0,732243456

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