Usando fatoração LU resolva algum dos sistemas: (3 pontos)
\left\{\begin{array}{l}3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=1 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}-2 x_{3}=3\end{array}\right.;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1,\\\ x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2,\\\\ 4x_{1}+3x_{2}-2x_{3}=3, \end{cases}
e pede para resolver usando fatoração LU. Vamos lembrar que a fatoração LU (sem pivotamento) consiste em escrever A=LU, onde L é triangular inferior com uns na diagonal e U é triangular superior; em seguida resolvemos Ly=b e depois Ux=y.

Passo 2

Começamos com a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 4 & 3 & -2 \end{pmatrix}.
Para zerar abaixo de a_{11}=3, calculamos os multiplicadores
\ell_{21} = \frac{1}{3},\qquad \ell_{31} = \frac{4}{3}.
Subtraindo \ell_{21} vezes a 1ª linha da 2ª e \ell_{31} vezes a 1ª linha da 3ª, obtemos
\tilde A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\\\ 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\\\ 0 & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{22}{3} \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora, para zerar o elemento \tilde a_{32}=\tfrac{1}{3} abaixo de \tilde a_{22}=\tfrac{1}{3}, usamos
\ell_{32} = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{1}{3}} = 1.
Subtraindo 1 vez a 2ª linha de \tilde A, chegamos a
U = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\\\ 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix},
e a matriz L dos multiplicadores é
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{1}{3} & 1 & 0\\\ \tfrac{4}{3} & 1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora resolvemos Ly=b com b=(1,2,3)^T. Escrevendo
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\ \tfrac{1}{3} & 1 & 0\\\ \tfrac{4}{3} & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\y_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},
temos
y_{1}=1,
y_{2}=2 - \tfrac{1}{3}\,y_{1} = 2 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{5}{3},
y_{3}=3 - \tfrac{4}{3}\,y_{1} - 1\cdot y_{2} =3 - \tfrac{4}{3} - \tfrac{5}{3} = 0.
Logo y=(1,\tfrac{5}{3},0)^T.

Passo 5

Em seguida resolvemos Ux=y, ou seja,
\begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\\\ 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 0 & -8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\tfrac{5}{3}\\\ 0\end{pmatrix}.
Da 3ª equação vem
-8\,x_{3}=0\implies x_{3}=0.
Da 2ª equação,
\tfrac{1}{3}x_{2}+\tfrac{2}{3}\,x_{3}=\tfrac{5}{3}\implies x_{2}=5.
Da 1ª equação,
3x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=1\implies 3x_{1}+2\cdot5=1\implies x_{1}=-3.

Resposta

x_{1}=-3,\quad x_{2}=5,\quad x_{3}=0.

Exercícios relacionados