Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com precisão de duas casas decimais:
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma raiz da função
com precisão de duas casas decimais. Informações dadas importantes:
Passo 2
Procuramos um intervalo
onde
e
tenham sinais opostos (isso garante, por continuidade, que existe ao menos uma raiz no intervalo). Calculamos dois valores simples:
Portanto existe pelo menos uma raiz em
. Vamos trabalhar dentro desse intervalo.
Passo 3
Explicando o método que vamos usar (bissecção) e o critério de parada:
- A cada passo pegamos o ponto médio
e calculamos . - Se
encontramos a raiz exata; se não, substituímos o extremo cujo valor de tem mesmo sinal de por , mantendo o intervalo com mudança de sinal. - Para garantir duas casas decimais corretamente arredondadas, basta reduzir o comprimento do intervalo
até que . Nesse caso o raio de incerteza (metade do comprimento) será , suficiente para arredondar o ponto médio com segurança.
Agora aplicamos a bissecção passo a passo em
.
Passo 4
Iteração 1:
Calculamos
Como
e
, a raiz está em
. Atualizamos:
Passo 5
Iteração 2:
Como
e
, a raiz está em
. Atualizamos:
Passo 6
Iteração 3:
Como
, a raiz está em
. Atualizamos:
Iteração 4:
Como
, a raiz está em
. Atualizamos:
Passo 7
Iteração 5:
Aqui podemos calcular
. Assim
Como
e
, a raiz está em
. Atualizamos:
Iteração 6:
Então nova faixa é
. Comprimento atual:
Ainda maior que
, continuamos.
Passo 8
Iteração 7:
Calculamos
Usando
e uma boa aproximação
, obtemos
Como
e
, a raiz está em
.
Aqui o comprimento do intervalo é
que já é menor que
. Logo atingimos o critério de parada que garante duas casas decimais corretas (metade do comprimento é
).
Passo 9
Tomamos o ponto médio desse último intervalo como aproximação da raiz:
Arredondando
com duas casas decimais (regra usual de arredondamento), obtemos
Portanto, com o critério escolhido e pelo processo de bissecção, a raiz aproximada com duas casas decimais é
.