Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com precisão de duas casas decimais:
f(x)=5 x^{2}+\ln (x+1)-2.

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma raiz da função f(x)=5x^{2}+\ln(x+1)-2 com precisão de duas casas decimais. Informações dadas importantes:
\text{função: } f(x)=5x^{2}+\ln(x+1)-2,çã
\text{domínio: } x>-1,í
\text{precisão desejada: 2 casas decimais (ou seja, erro absoluto menor que }0,005\text{ para garantir arredondamento correto).}ã

Passo 2

Procuramos um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos (isso garante, por continuidade, que existe ao menos uma raiz no intervalo). Calculamos dois valores simples:
f(0)=5\cdot 0^{2}+\ln(0+1)-2=-2\quad(\text{negativo}),
f(1)=5\cdot 1^{2}+\ln(1+1)-2=3+\ln(2)\approx 3,693147\quad(\text{positivo}).
Portanto existe pelo menos uma raiz em [0,1]. Vamos trabalhar dentro desse intervalo.

Passo 3

Explicando o método que vamos usar (bissecção) e o critério de parada:
  • A cada passo pegamos o ponto médio m=(a+b)/2 e calculamos f(m).
  • Se f(m)=0 encontramos a raiz exata; se não, substituímos o extremo cujo valor de f tem mesmo sinal de f(m) por m, mantendo o intervalo com mudança de sinal.
  • Para garantir duas casas decimais corretamente arredondadas, basta reduzir o comprimento do intervalo [a,b] até que b-a\le 0,01. Nesse caso o raio de incerteza (metade do comprimento) será \le 0,005, suficiente para arredondar o ponto médio com segurança.
Agora aplicamos a bissecção passo a passo em [0,1].

Passo 4

Iteração 1:
a_{0}=0,\quad b_{0}=1,\quad m_{1}=\frac{0+1}{2}=0,5.
Calculamos
f(0,5)=5(0,5)^{2}+\ln(1,5)-2=1,25+\ln(1,5)-2\approx 1,25+0,405465-2=-0,344535.
Como f(0,5)<0 e f(1)>0, a raiz está em [0,5,\,1]. Atualizamos:
a_{1}=0{,}5,\quad b_{1}=1.

Passo 5

Iteração 2:
m_{2}=\frac{0,5+1}{2}=0,75.
f(0,75)=5(0,75)^{2}+\ln(1,75)-2=2,8125+\ln(1,75)-2\approx 2,8125+0,559616-2=1,372116.
Como f(0,75)>0 e f(0,5)<0, a raiz está em [0,5,\,0,75]. Atualizamos:
a_{2}=0{,}5,\quad b_{2}=0{,}75.

Passo 6

Iteração 3:
m_{3}=\frac{0,5+0,75}{2}=0,625.
f(0,625)=5(0,625)^{2}+\ln(1,625)-2\approx 1,953125+0,484017-2=0,437142.
Como f(0,625)>0, a raiz está em [0,5,\,0,625]. Atualizamos:
a_{3}=0{,}5,\quad b_{3}=0{,}625.
Iteração 4:
m_{4}=\frac{0,5+0,625}{2}=0,5625.
f(0,5625)=5(0,5625)^{2}+\ln(1,5625)-2\approx 1,58203125+0,446287-2=0,028318.
Como f(0,5625)>0, a raiz está em [0,5,\,0,5625]. Atualizamos:
a_{4}=0{,}5,\quad b_{4}=0{,}5625.

Passo 7

Iteração 5:
m_{5}=\frac{0,5+0,5625}{2}=0,53125.
f(0,53125)=5(0,53125)^{2}+\ln(1,53125)-2.
Aqui podemos calcular \ln(1,53125)=\ln\!\left(\tfrac{49}{32}\right)=2\ln 7-5\ln 2\approx 0,426084. Assim
f(0,53125)\approx 1,411133+0,426084-2=-0,162783\quad(\text{negativo}).
Como f(0,53125)<0 e f(0,5625)>0, a raiz está em [0,53125,\,0,5625]. Atualizamos:
a_{5}=0{,}53125,\quad b_{5}=0{,}5625.
Iteração 6:
m_{6}=\frac{0,53125+0,5625}{2}=0,546875.
f(0,546875)=5(0,546875)^{2}+\ln(1,546875)-2\approx -0,068402\quad(\text{negativo, cálculo aproximado usando }\ln(99/64)\approx 0,436237).á
Então nova faixa é [0,546875,\,0,5625]. Comprimento atual:
b_{6}-a_{6}=0,5625-0,546875=0,015625.
Ainda maior que 0,01, continuamos.

Passo 8

Iteração 7:
m_{7}=\frac{0,546875+0,5625}{2}=0,5546875.
Calculamos
f(0,5546875)=5(0,5546875)^{2}+\ln(1,5546875)-2.
Usando (0,5546875)^{2}=0,30767822265625 e uma boa aproximação \ln(1,5546875)\approx 0,441262, obtemos
f(0,5546875)\approx 1,53839111328125+0,441262-2=-0,020347\quad(\text{negativo}).
Como f(0,5546875)<0 e f(0,5625)>0, a raiz está em [0,5546875,\,0,5625].
Aqui o comprimento do intervalo é
b-a=0,5625-0,5546875=0,0078125,
que já é menor que 0,01. Logo atingimos o critério de parada que garante duas casas decimais corretas (metade do comprimento é 0,00390625\le 0,005).

Passo 9

Tomamos o ponto médio desse último intervalo como aproximação da raiz:
m=\frac{0,5546875+0,5625}{2}=0,55859375.
Arredondando m com duas casas decimais (regra usual de arredondamento), obtemos
m\approx 0,56.
Portanto, com o critério escolhido e pelo processo de bissecção, a raiz aproximada com duas casas decimais é 0,56.

Resposta

x\approx 0,56

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