Usando o método da bissecção faça as iterações e encontre as aproximações do zero das funções abaixo:
f(x)=x^{3}-x-1, \xi \in(1,2) e \varepsilon=10^{-3};

Passo 1

O enunciado pede a raiz de \,f(x)=x^{3}-x-1 no intervalo (1,2) usando o método da bissecção, com tolerância \varepsilon=10^{-3}. Vamos aplicar o método iterativamente até que
\frac{b_{n}-a_{n}}{2}<\varepsilon.

Passo 2

Calculamos inicialmente f(1)=1-1-1=-1<0 e f(2)=8-2-1=5>0, logo há mudança de sinal em [1,2]. Definimos a_{0}=1, b_{0}=2 e, para n=1,2,\dots, fazemos:
1. c_{n}=\dfrac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} 2. avalia f(c_{n}) 3. se f(c_{n})>0, então a_{n}=a_{n-1}, b_{n}=c_{n}; senão a_{n}=c_{n}, b_{n}=b_{n-1}.
Fazendo as iterações:
1. n=1: c_{1}=\tfrac{1+2}{2}=1{,}5; f(c_{1})=0{,}875>0 \to [a_{1},b_{1}]=[1,1{,}5] 2. n=2: c_{2}=\tfrac{1+1{,}5}{2}=1{,}25; f(c_{2})=-0{,}2969<0 \to [1{,}25,1{,}5] 3. n=3: c_{3}=1{,}375; f(c_{3})=0{,}2207>0 \to [1{,}25,1{,}375] 4. n=4: c_{4}=1{,}3125; f(c_{4})=-0{,}0527<0 \to [1{,}3125,1{,}375] 5. n=5: c_{5}=1{,}34375; f(c_{5})=0{,}0857>0 \to [1{,}3125,1{,}34375] 6. n=6: c_{6}=1{,}328125; f(c_{6})=0{,}0189>0 \to [1{,}3125,1{,}328125] 7. n=7: c_{7}=1{,}3203125; f(c_{7})=-0{,}0173<0 \to [1{,}3203125,1{,}328125] 8. n=8: c_{8}=1{,}32421875; f(c_{8})\approx -0{,}0029<0 \to [1{,}32421875,1{,}328125] 9. n=9: c_{9}=1{,}326171875; f(c_{9})\approx 0{,}0061>0 \to [1{,}32421875,1{,}326171875] 10. verifica-se
\frac{b_{9}-a_{9}}{2} =\frac{1{,}326171875-1{,}32421875}{2} =0{,}0009765625<10^{-3},
logo paramos e tomamos  
\[c_{10} =\frac{1{,}32421875+1{,}326171875}{2} =1{,}3251953125.\]

Resposta

\displaystyle \xi\approx 1{,}3251953125 (com erro menor que 10^{-3}).

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