Usando o método da bissecção faça as iterações e encontre as aproximações do zero das funções abaixo:
f(x)=4 \operatorname{sen}(x)-e^{x}, \xi \in(0,1) e \varepsilon=10^{-4};

Passo 1

O enunciado pede para aproximar uma raiz de
f(x)=4\sin(x)-e^{x}
no intervalo (0,1) usando o método da bissecção com tolerância \varepsilon=10^{-4}.
Conteúdo: métodos numéricos (bissecção). Vamos precisar verificar mudança de sinal em [a,b], calcular pontos médios c=(a+b)/2 e refinar o intervalo até (b-a)/2<\varepsilon.

Passo 2

Verificamos os valores em extremidades:
f(0)=4\sin(0)-e^{0}=-1<0,
f(1)=4\sin(1)-e^{1}\approx3,3659-2,7183=0,6476>0.
Há mudança de sinal em [0,1], logo existe pelo menos uma raiz aí.

Passo 3

Regra de bissecção: em cada iteração k definimos
c_k = \frac{a_{k-1}+b_{k-1}}{2},
avaliamos f(c_k). Se f(c_k)\cdot f(a_{k-1})<0 mantemos b_k=c_k e a_k=a_{k-1}; caso contrário mantemos a_k=c_k e b_k=b_{k-1}. Paramos quando
\frac{b_k-a_k}{2}<\varepsilon.
O número mínimo de iterações necessárias satisfaz
N\ge \left\lceil \log_2\frac{b_0-a_0}{\varepsilon}\right\rceil =\lceil\log_2(10^4)\rceil=14.

Passo 4

Segue a execução até (b_k-a_k)/2<10^{-4}; cada linha dá k, c_k, f(c_k) e o novo intervalo [a_k,b_k]:
1. c_1=0,5, f(c_1)\approx0,2690>0\ \Rightarrow[a_1,b_1]=[0,0,5]
2. c_2=0,25, f(c_2)\approx-0,2944<0\ \Rightarrow[a_2,b_2]=[0,25,0,5]
3. c_3=0,375, f(c_3)\approx0,0077>0\ \Rightarrow[a_3,b_3]=[0,25,0,375]
4. c_4=0,3125, f(c_4)\approx-0,1388<0\ \Rightarrow[a_4,b_4]=[0,3125,0,375]
5. c_5=0,34375, f(c_5)\approx-0,0604<0\ \Rightarrow[a_5,b_5]=[0,34375,0,375]
6. c_6=0,359375, f(c_6)\approx-0,0267<0\ \Rightarrow[a_6,b_6]=[0,359375,0,375]
7. c_7=0,3671875, f(c_7)\approx-0,0095<0\ \Rightarrow[a_7,b_7]=[0,3671875,0,375]
8. c_8=0,37109375, f(c_8)\approx-0,0006<0\ \Rightarrow[a_8,b_8]=[0,37109375,0,375]
9. c_9=0,373046875, f(c_9)\approx0,0035>0\ \Rightarrow[a_9,b_9]=[0,37109375,0,373046875]
10. c_{10}=0,3720703125, f(c_{10})\approx0,0018>0\ \Rightarrow[a_{10},b_{10}]=[0,37109375,0,3720703125]
11. c_{11}=0,37158203125, f(c_{11})\approx0,0006>0\ \Rightarrow[a_{11},b_{11}]=[0,37109375,0,37158203125]
12. c_{12}=0,371337890625, f(c_{12})\approx0,0000>0\ \Rightarrow[a_{12},b_{12}]=[0,37109375,0,371337890625]
13. c_{13}=0,3712158203125, f(c_{13})\approx-0,0003<0\ \Rightarrow[a_{13},b_{13}]=[0,3712158203125,0,371337890625]
14. c_{14}=0,37127685546875, f(c_{14})\approx0,0002>0\ \Rightarrow[a_{14},b_{14}]=[0,3712158203125,0,37127685546875]
Nesse passo (b_{14}-a_{14})/2=0,0000305<10^{-4}, encerramos.

Resposta

A aproximação da raiz é
\xi \approx 0{,}37127685546875\approx0{,}3713.

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