Usando o método da bissecção faça as iterações e encontre as aproximações do zero das funções abaixo:
f(x)=x \log (x)-1, \xi \in(2,3) e \varepsilon=10^{-4};

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método da bissecção em
f(x)=x\log(x)-1
no intervalo \,(2,3) com tolerância \varepsilon=10^{-4}.
Aqui usamos \log na base 10 para que se tenha f(2)<0 e f(3)>0, garantindo mudança de sinal.

Passo 2

Verificamos os sinais em a_0=2 e b_0=3:
f(2)=2\log_{10}(2)-1\approx2\cdot0{,}3010-1=-0{,}3980<0,
f(3)=3\log_{10}(3)-1\approx3\cdot0{,}4771-1=0{,}4313>0.
Logo há raiz em (2,3).

Passo 3

O número mínimo de iterações N para reduzir o erro máximo abaixo de \varepsilon vem de
\frac{b_0-a_0}{2^N}\le\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad N\ge\log_{2}\!\Bigl(\frac{3-2}{10^{-4}}\Bigr) \approx\log_{2}(10^{4})\approx13{,}29,
portanto basta N=14 iterações.

Passo 4

Executamos 14 iterações de bissecção; em cada iteração k calculamos
x_k=\frac{a_{k-1}+b_{k-1}}2,
avaliamos f(x_k) e substituímos o ponto cuja imagem tem sinal igual a f(x_k).
As primeiras iterações são:
\begin{aligned} x_1&=(2{,}0000+3{,}0000)/2=2{,}5000,\quad f(x_1)\approx-0{,}00515<0 \quad\Rightarrow\quad [a_1,b_1]=[2{,}5000,3{,}0000],\\\ x_2&=2{,}7500,\quad f(x_2)\approx+0{,}2080>0 \quad\Rightarrow\quad [a_2,b_2]=[2{,}5000,2{,}7500],\\\ x_3&=2{,}6250,\quad f(x_3)\approx+0{,}0981>0 \quad\Rightarrow\quad [a_3,b_3]=[2{,}5000,2{,}6250],\\\ &\;\,\vdots\quad\text{(prosseguindo até \(k=14\)).} \end{aligned}é

Passo 5

Após 14 iterações a largura do intervalo [a_{14},b_{14}] fica menor que 2\varepsilon, e a aproximação final é
x_{14}=\frac{a_{13}+b_{13}}2\approx2{,}5060.

Resposta

A aproximação do zero é x\approx2{,}5060, atingindo a precisão \varepsilon=10^{-4}.

Exercícios relacionados