4
Verifique se o critério Sassenfeld é satisfeito e resolva, caso possível, usando Gauss-Seidel e duas iterações. Apresente o erro relativo.
A=\left(\begin{array}{rrr} 10 & 1 & 1 \\\\ 1 & 10 & 1 \\\\ 1 & 1 & 10 \end{array}\right) ; \quad b=\left(\begin{array}{r} 12 \\\\ 12 \\\\ 12 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar o critério de convergência de Sassenfeld para o método de Gauss–Seidel aplicado ao sistema
A x = b,\quad A = \begin{pmatrix} 10 & 1 & 1\\\\ 1 & 10 & 1\\\\ 1 & 1 & 10 \end{pmatrix},\; b = \begin{pmatrix}12\\\ 12\\\ 12\end{pmatrix},
fazer duas iterações de Gauss–Seidel a partir de x^{(0)}=(0,0,0)^T e calcular o erro relativo após a segunda iteração.

Passo 2

Aplicamos o critério de Sassenfeld, que define coeficientes \beta_i pela fórmula
\beta_i =\frac{1}{|a_{ii}|}\sum_{j<i}|a_{ij}|\beta_j +\frac{1}{|a_{ii}|}\sum_{j>i}|a_{ij}|,
com \beta_1 calculado só com j>1.
Calculamos:
\beta_1=\frac{|1|+|1|}{10}=0{,}2, \qquad \beta_2=\frac{|1|\beta_1+|1|}{10}=\frac{0{,}2+1}{10}=0{,}12, \qquad \beta_3=\frac{|1|\beta_1+|1|\beta_2}{10}=\frac{0{,}2+0{,}12}{10}=0{,}032.
Como \max(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=0{,}2<1, o critério é satisfeito e o método converge.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel:
x_1^{(k)} =\frac{12 - 1\cdot x_2^{(k-1)} - 1\cdot x_3^{(k-1)}}{10},\quad x_2^{(k)} =\frac{12 - 1\cdot x_1^{(k)} - 1\cdot x_3^{(k-1)}}{10},\quad x_3^{(k)} =\frac{12 - 1\cdot x_1^{(k)} - 1\cdot x_2^{(k)}}{10}.
Para k=1 e x^{(0)}=(0,0,0)^T:
x_1^{(1)}=\frac{12}{10}=1{,}2,\quad x_2^{(1)}=\frac{12-1{,}2}{10}=1{,}08,\quad x_3^{(1)}=\frac{12-1{,}2-1{,}08}{10}=0{,}972.

Passo 4

Agora k=2, usando os valores já atualizados:
x_1^{(2)}=\frac{12 - 1{,}08 - 0{,}972}{10}=\frac{9{,}948}{10}=0{,}9948,
x_2^{(2)}=\frac{12 - 0{,}9948 - 0{,}972}{10}=\frac{10{,}0332}{10}=1{,}00332,
x_3^{(2)}=\frac{12 - 0{,}9948 - 1{,}00332}{10}=\frac{10{,}00188}{10}=1{,}000188.
Logo
x^{(2)}=\begin{pmatrix}0{,}9948\\\ 1{,}00332\\\ 1{,}000188\end{pmatrix}.

Passo 5

A solução exata do sistema é x=(1,1,1)^T. Definimos o erro relativo na norma infinita
e_{\mathrm{rel}} =\frac{\|x^{(2)}-x\|_\infty}{\|x\|_\infty} =\frac{\max\bigl(|0{,}9948-1|,\;|1{,}00332-1|,\;|1{,}000188-1|\bigr)}{1} =0{,}0052.

Resposta

O critério de Sassenfeld é satisfeito (todos \beta_i<1), o método converge e, após duas iterações,
x^{(2)}=\begin{pmatrix}0{,}9948\\\ 1{,}00332\\\ 1{,}000188\end{pmatrix},
com erro relativo e_{\mathrm{rel}}\approx0{,}0052.

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