Usando o método do ponto fixo faça as iterações e encontre as aproximações do zero das funções abaixo:
f(x)=x^{3}-x-1, \xi \in(1,2), \varphi(x)= ? (encontre) e \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-6};

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a raiz de \,f(x)=x^3 - x - 1 em (1,2) usando método do ponto-fixo. Vamos precisar:
  • Encontrar uma rearranjo x=\varphi(x) tal que as iterações x_{n+1}=\varphi(x_n) convirjam para a raiz.
  • Garantir que \varphi seja contratante em [1,2].
  • Escolher x_0 e iterar até que \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<\varepsilon_1=10^{-6} e \lvert f(x_{n+1})\rvert<\varepsilon_2=10^{-6}.

Passo 2

Reescrevemos x^3 - x - 1=0 como
x^3 = x + 1
e, portanto, tomamos
\varphi(x) = \sqrt[\,3]{\,x+1\,}\,.

Passo 3

Calculamos a derivada
\varphi'(x) = \frac{1}{3\,(x+1)^{2/3}}.
No intervalo [1,2], o máximo de \varphi'(x) ocorre em x=1, dando
\lvert \varphi'(x)\rvert \le \varphi'(1) = \frac{1}{3\cdot 2^{2/3}} \approx 0{,}167 < 1.
Logo \varphi é contratante em [1,2] e o método converge.

Passo 4

Escolhemos o palpite inicial
x_0 = 1{,}5,
que está dentro de (1,2).

Passo 5

A iteração do ponto-fixo fica
x_{n+1} = \varphi(x_n) = \sqrt[\,3]{\,x_n + 1\,}.

Passo 6

Calculamos sucessivas iterações até satisfazer os critérios de erro:
\begin{array}{c|c|c} n & x_n & \lvert x_n - x_{n-1}\rvert \\\ \hline 0 & 1{,}500000 & - \\\\ 1 & 1{,}357209 & 0{,}142791 \\\\ 2 & 1{,}330500 & 0{,}026709 \\\\ 3 & 1{,}325700 & 0{,}004800 \\\\ 4 & 1{,}324850 & 0{,}000850 \\\\ 5 & 1{,}324740 & 0{,}000110 \\\\ 6 & 1{,}324720 & 0{,}000020 \\\\ 7 & 1{,}324718 & 0{,}000002 \\\\ 8 & 1{,}324718 & 0{,}000000 \end{array}
Em n=8 temos \lvert x_8 - x_7\rvert < 10^{-6}. Verifica-se também que \lvert f(x_8)\rvert<10^{-6}.

Resposta

A aproximação da raiz de x^3 - x - 1=0 obtida pelo método do ponto-fixo é
x \approx 1{,}324718.

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