Usando o método do ponto fixo faça as iterações e encontre as aproximações do zero das funções abaixo:
f(x)=x \log (x)-1, \xi \in(2,3), \varphi(x)=x-1.3(x \log (x)-1) e \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2}=10^{-7};

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar a raiz de
f(x)=x\ln(x)-1
no intervalo (2,3) pelo método do ponto-fixo com a iteração
x_{n+1}=\varphi(x_n),\quad\varphi(x)=x-1{,}3\bigl(x\ln(x)-1\bigr),
adotando critérios de parada
\varepsilon_1=\varepsilon_2=10^{-7}.

Passo 2

Definimos os critérios de parada habituais no ponto-fixo:
  1. \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<\varepsilon_1.
  2. \lvert f(x_{n+1})\rvert<\varepsilon_2.

Passo 3

Verificação da convergência: calculamos
\varphi'(x)=1-1{,}3\bigl(\ln(x)+1\bigr).
Em x=2 obtém-se
\varphi'(2)=1-1{,}3(\ln2+1)\approx1-1{,}3(0{,}6931+1)=-1{,}2009,
e em x=3
\varphi'(3)=1-1{,}3(\ln3+1)\approx1-1{,}3(1{,}0986+1)=-1{,}7282.
Em todo [2,3] temos \lvert\varphi'(x)\rvert>1, ou seja, \varphi não é contração e o método não garante convergência.

Passo 4

Para ilustrar, tomemos x_0=2{,}5 e calculamos as primeiras iterações:
\begin{aligned} x_1&=2{,}5-1{,}3\bigl(2{,}5\ln2{,}5-1\bigr)\approx0{,}8221,\\\ x_2&=0{,}8221-1{,}3\bigl(0{,}8221\ln0{,}8221-1\bigr)\approx2{,}3321,\\\ x_3&=2{,}3321-1{,}3\bigl(2{,}3321\ln2{,}3321-1\bigr)\approx1{,}0629,\\\ x_4&=1{,}0629-1{,}3\bigl(1{,}0629\ln1{,}0629-1\bigr)\approx2{,}2785,\\\ x_5&=2{,}2785-1{,}3\bigl(2{,}2785\ln2{,}2785-1\bigr)\approx1{,}1392. \end{aligned}
Observamos um comportamento oscilatório (não monótono nem convergente), e nenhuma das diferenças \lvert x_{n+1}-x_n\rvert ou \lvert f(x_{n+1})\rvert cai abaixo de 10^{-7}.

Passo 5

Conclusão prática: como \lvert\varphi'(x)\rvert>1 em [2,3] e as iterações oscilam sem atender os critérios de parada, o método não converge para essa \varphi e nesse intervalo.

Resposta

O método do ponto-fixo com \varphi(x)=x-1{,}3(x\ln x-1) não converge em (2,3); não é possível obter aproximação até \varepsilon_1=\varepsilon_2=10^{-7}.

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