Usando o Método dos Mínimos Quadrados, determine a função g(x) que melhor se ajusta aos dados da tabela abaixo:
c|ccccccc $x$ & -2 & -1 & 0 & 0.1 & 1 & 2 & 3 hline$f(x)$ & 6.0 & $k$ & 0 & 0.12 & 3.01 & 9.99 & 20.98 -2 -1 0 0.1 1 2 3
k=1,2345 6.0 0 0.12 3.01 9.99 20.98
Calcule e analise os resultados obtidos.
Se seu R.A é igual a 123456 , então .

Passo 1

O enunciado pede para usar o Método dos Mínimos Quadrados e ajustar uma função aos pontos da tabela: temos os pares (xi,fi) com xin-2,-1,0,0.1,1,2,3 e fin6.0,1.2345,0,0.12,3.01,9.99,20.98. O conteúdo é ajuste de curva por mínimos quadrados e vamos precisar montar e resolver as equações normais.

Passo 2

Como a tabela contém f(0)=0, podemos adotar um modelo quadrático sem termo independente:
g(x)=a x^2 + b x
Para encontrar a e b usamos as equações normais:
asum xi^4 + bsum xi^3 = sum xi^2 fi, asum xi^3 + bsum xi^2 = sum xi fi

Passo 3

Calculamos os somatórios necessários:
sum xi^2=19.01, sum xi^3=27.001, sum xi^4=115.0001,
$$\sum x_i f_i=72.7075,
\quad\sum x_i^2 f_i=257.0257.$$

Passo 4

Substituindo nos normais obtemos o sistema linear:
115.0001,a + 27.001,b = 257.0257,27.001,a + 19.01,b = 72.7075
Resolvendo por determinantes chegou-se a
$$a\approx2.0056,
\quad b\approx0.9758.$$

Passo 5

Assim a função ajustada é
g(x)=2.0056,x^2 + 0.9758,x

Passo 6

Agora calculamos os resíduos ei=fi-g(xi) em cada ponto e somamos seus quadrados:
resíduos aproximados:
e(-2)approx-0.0708, e(-1)approx0.2047, e(0)=0, e(0.1)approx0.0024, e(1)approx0.0286, e(2)approx0.0160, e(3)approx0.0022,
portanto
sumi=1^7 e(xi)^2approx0.0480

Passo 7

O valor de sum ei^2 é muito pequeno, o que mostra que o modelo quadrático ajusta muito bem os dados (resíduos pequenos e distribuídos sem viés aparente).

Resposta

g(x)=2.0056,x^2 + 0.9758,x e sumi=1^7 e(xi)^2approx0.0480

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