Usando os Métodos de Euler, de Euler Aperfeiçoado, Euler Modificado e Runge Kutta de 3 estágios resolva as seguintes equações diferenciais com valor inicial:
com
. Usando
, calcule
,
Passo 1
A questão pede para aproximar y(0.05) da EDO y’=x2+y2 com y(0)=0 usando h=0.01 pelos métodos de Euler, Euler Aperfeiçoado (Heun), Euler Modificado (ponto médio) e Runge–Kutta de 3 estágios. O conteúdo é métodos numéricos para EDOs e vamos precisar da definição f(x,y)=x2+y2 e das fórmulas de atualização de cada método.
Passo 2
Primeiro, derivamos as fórmulas de cada método: para o método de Euler temos
. Para o Euler Aperfeiçoado (Heun) usamos o preditor
e o corretor
. No Euler Modificado (ponto médio) calculamos
,
e
. Para o Runge–Kutta de 3 estágios definimos
e atualizamos
e atualizamos
Passo 3
No método de Euler aplicamos cinco iterações com h=0.01 partindo de x_0=0 e y_0=0. Em cada passo calculamos f(x_n,y_n)=x_n2+y_n2 e atualizamos
. O resultado após 5 passos é
Passo 4
No Euler Aperfeiçoado (Heun) fazemos cinco passos de preditor e corretor e obtemos
Passo 5
No Euler Modificado (ponto médio) realizamos cinco iterações de k1, k2 e y_{n+1}=y_n+0.01 k2 e achamos
Passo 6
No Runge–Kutta de três estágios calculamos cinco conjuntos de k1, k2, k3 e atualizamos pela fórmula acima, resultando em
Resposta
Euler: 3.00×10^{-5}; Euler Aperfeiçoado (Heun): 4.25×10^{-5}; Euler Modificado (ponto médio): 4.125×10^{-5}; Runge–Kutta de 3 estágios: 4.16667×10^{-5}.