Usando os Métodos de Euler, de Euler Aperfeiçoado, Euler Modificado e Runge Kutta de 3 estágios resolva as seguintes equações diferenciais com valor inicial:
y^prime=x^2+y^2 com y(0)=0. Usando h=0.01, calcule y(0.05),

Passo 1

A questão pede para aproximar y(0.05) da EDO y’=x2+y2 com y(0)=0 usando h=0.01 pelos métodos de Euler, Euler Aperfeiçoado (Heun), Euler Modificado (ponto médio) e Runge–Kutta de 3 estágios. O conteúdo é métodos numéricos para EDOs e vamos precisar da definição f(x,y)=x2+y2 e das fórmulas de atualização de cada método.

Passo 2

Primeiro, derivamos as fórmulas de cada método: para o método de Euler temos yn+1=yn+h,f(xn,yn). Para o Euler Aperfeiçoado (Heun) usamos o preditor y^*=yn+h,f(xn,yn) e o corretor yn+1=yn+tfrac h2l(f(xn,yn)+f(xn+1,y^*)r). No Euler Modificado (ponto médio) calculamos k1=f(xn,yn), k2=fl(xn+tfrac h2,yn+tfrac h2,k1r) e yn+1=yn+h,k2. Para o Runge–Kutta de 3 estágios definimos
k1=f(xn,yn), k2=fl(xn+tfrac h2,yn+tfrac h2,k1r), k3=fl(xn+h,yn-h,k1+2h,k2r),
e atualizamos
yn+1=yn+hl(tfrac16,k1+tfrac23,k2+tfrac16,k3r)

Passo 3

No método de Euler aplicamos cinco iterações com h=0.01 partindo de x_0=0 e y_0=0. Em cada passo calculamos f(x_n,y_n)=x_n2+y_n2 e atualizamos yn+1=yn+0.01,f(xn,yn). O resultado após 5 passos é
y(0.05)approx3.00times10^-5

Passo 4

No Euler Aperfeiçoado (Heun) fazemos cinco passos de preditor e corretor e obtemos
y(0.05)approx4.25times10^-5

Passo 5

No Euler Modificado (ponto médio) realizamos cinco iterações de k1, k2 e y_{n+1}=y_n+0.01 k2 e achamos
y(0.05)approx4.125times10^-5

Passo 6

No Runge–Kutta de três estágios calculamos cinco conjuntos de k1, k2, k3 e atualizamos pela fórmula acima, resultando em
y(0.05)approx4.16667times10^-5

Resposta

Euler: 3.00×10^{-5}; Euler Aperfeiçoado (Heun): 4.25×10^{-5}; Euler Modificado (ponto médio): 4.125×10^{-5}; Runge–Kutta de 3 estágios: 4.16667×10^{-5}.

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