Usando os Métodos de Euler, de Euler Aperfeiçoado, Euler Modificado e Runge Kutta de 3 estágios resolva as seguintes equações diferenciais com valor inicial:
y^prime=-xy com y(0)=20. Usando h=0.2, calcule y(1.0).

Passo 1

O problema pede para aproximar a solução de y'= -dfracxy, com y(0)=20, no ponto x=1.0, usando passo h=0.2 e quatro métodos (Euler simples, Euler aperfeiçoado, Euler modificado e Runge–Kutta de ordem 3). Vamos precisar da função f(x,y)=-x/y e das fórmulas de cada método.

Passo 2

Euler simples (método de Euler): a fórmula de recorrência é
yn+1=yn + h,f(xn,yn)=yn - hxnyn
Calculando de n=0 a n=5 (que dá x5=1.0) obtemos aproximadamente
y1=20.00000, y2=19.99800, y3=19.99400, y4=19.98800, y5=19.979998.
Logo, y(1.0)approx19.979998.

Passo 3

Euler aperfeiçoado (Heun): a fórmula é
yn+1=yn + h2l[f(xn,yn)+fl(xn+1,yn+h,f(xn,yn)r)r]
Executando os 5 passos, encontra-se
y(1.0)approx19.974991.

Passo 4

Euler modificado (método do ponto‐médio): define-se
k1=f(xn,yn), k2=fl(xn+tfrach2,yn+tfrach2k1r), yn+1=yn + h,k2
Após 5 iterações, chegamos em
y(1.0)approx19.974996.

Passo 5

Runge–Kutta de 3 estágios (método de Kutta 3ª ordem):
k1=f(xn,yn), k2=fl(xn+tfrach2,yn+tfrach2k1r), k3=fl(xn+h,,yn - h,k1 + 2h,k2r),
yn+1=yn + h6l(k1 + 4k2 + k3r)
Em 5 passos isso resulta em
y(1.0)approx19.974994.

Resposta

Euler simples: 19.979998; Euler aperfeiçoado: 19.974991; Euler modificado: 19.974996; Runge–Kutta 3 estágios: 19.974994

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