Usando os Métodos de Euler, de Euler Aperfeiçoado, Euler Modificado e Runge Kutta de 3 estágios resolva as seguintes equações diferenciais com valor inicial:
y^prime=x-y^2 com y(0)=1. Usando h=0.1, calcule y(0.8),

Passo 1

A gente tem a EDO y'=x-y^2 com condição inicial y(0)=1, e quer aproximar y(0.8) usando passo h=0.1. Os métodos a usar são: Euler explícito, Euler Aperfeiçoado (Heun), Euler Modificado (método do ponto médio) e Runge–Kutta de 3 estágios.

Passo 2

Método de Euler explícito: a fórmula de iteração é
yn+1=yn+h,f(xn,yn),
onde f(x,y)=x-y^2. Aplicando de x0=0 até x8=0.8 com y0=1, obtemos iterativamente:
y1=0.9,;y2approx0.829,;y3approx0.7802,;y4approx0.7494,;y5approx0.7332,;y6approx0.7295,;y7approx0.7362,;y8approx0.7521
Logo, y(0.8)approx0.75214.

Passo 3

Euler Aperfeiçoado (Heun): usamos
y^* n+1=yn+h,f(xn,yn),
yn+1=yn+h2l(f(xn,yn)+f(xn+1,y^*n+1)r)
Iterando de n=0 a 7, chegamos em
y8approx0.78534.

Passo 4

Euler Modificado (ponto médios): a iteração é
k1=f(xn,yn),
yn+1=yn+h,fl(xn+tfrach2,,yn+tfrach2k1r)
Fazendo as oito iterações, obtemos
y8approx0.78497.

Passo 5

Runge–Kutta de 3 estágios (clássico):
k1=f(xn,yn),
k2=fl(xn+tfrach2,yn+tfrach2k1r),
k3=fl(xn+h,,yn-hk1+2hk2r),
yn+1=yn+h6l(k1+4k2+k3r)
Após as oito iterações, achamos
y8approx0.78453.

Resposta

Usando passo h=0.1 de x=0 até 0.8:
Euler: y(0.8)approx0.75214
Euler Aperfeiçoado: y(0.8)approx0.78534
Euler Modificado: y(0.8)approx0.78497
Runge–Kutta 3 estágios: y(0.8)approx0.78453

Exercícios relacionados