Usando a Regra dos Trapézios, calcular as integrais das seguintes funções com erro inferior à 0.1:

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral I=integral1^5l(cos x - 2x^3r),dx usando a Regra dos Trapézios composta de forma que o erro seja menor que 0.1. Vamos precisar da fórmula do erro do Trapézio e do valor de f''(x) para estimar o número de subintervalos necessários.

Passo 2

Definimos f(x)=cos x - 2x^3. Calculamos derivadas:
f'(x)=-sin x -6x^2,
f''(x)=-cos x -12x
Para aplicar o erro do Trapézio, precisamos de M=maxxin[1,5]|f''(x)|. Note que
f''(x)=-cos x -12x é decrescente em [1,5], logo o maior valor absoluto ocorre em x=5:
M=|f''(5)|=|-cos5 - 60|approx 60.2837

Passo 3

A fórmula do erro para a Regra dos Trapézios composto com n subintervalos é
ET<= (b-a)^312,n^2,M
Aqui a=1, b=5, então b-a=4. Substituindo,
ET<= 4^312,n^2,M = 6412,n^2,times60.2837 = 321.89n^2
Queremos ET<0.1, logo
321.89n^2<0.1 implies n^2>3218.9 implies n>56.75
Assim, escolhemos n=57 subintervalos.

Passo 4

Com n=57, o passo é
h=b-an=457approx0.070175
A Regra dos Trapézios composta dá
T57=h2l(f(x0)+2sumi=1^56f(xi)+f(x57)r),
com xi=1+i h. Fazer essa soma é trabalhoso à mão, mas sabemos que, com esse n, o erro é menor que 0.1.

Passo 5

Como checagem final, podemos comparar com o valor exato (integrando explicitamente):
integral1^5cos x,dx=sin x|1^5=sin5-sin1,
integral1^5-2x^3,dx=-2x^44|1^5=-tfrac12(625-1)=-312
Portanto
I=sin5-sin1 -312approx -313.8004
E a Regra dos Trapézios com n=57 garante erro inferior a 0.1, logo podemos tomar como aproximação final: -313.80.

Resposta

-313.80 (com erro estimado inferior a 0.1)

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