Usando a Regra dos Trapézios, calcular as integrais das seguintes funções com erro inferior à 0.1:
.

Passo 1

A integral que queremos aproximar é
integral-1^3l(3e^-x+cos xr),dx,
e vamos usar a Regra Trapezoidal Composta com critério de erro. Precisaremos da expressão de f''(x) para estimar o erro.

Passo 2

A função é f(x)=3e^-x+cos x. Calculando derivadas:
f'(x)=-3e^-x-sin x,
f''(x)=3e^-x-cos x

Passo 3

Para aplicar o cômputo do erro, estimamos
M=maxxin[-1,3]l|f''(x)r|

Passo 4

Observamos que em x=-1
f''(-1)=3e^1-cos(-1)approx8.154-0.540=7.614,
e esse é o maior valor absoluto em todo o intervalo, logo M=7.614.

Passo 5

O erro da Regra Trapezoidal Composta satisfaz
|ET|<=(b-a)^312,n^2M,
onde a=-1, b=3 e b-a=4. Substituindo temos
|ET|<=4^312,n^2cdot7.614=487.312,n^2approx40.61n^2

Passo 6

Para garantir erro menor que 0.1 exigimos
40.61n^2<=0.1Longrightarrow n^2>=406.1Longrightarrow n>=20.15

Passo 7

Escolhemos n=21 subintervalos. O passo é
h=b-an=421approx0.1905

Passo 8

A aproximação final pela Regra Trapezoidal Composta é
T21=hl(tfracf(x0)+f(x21)2+sumi=1^20f(xi)r)

Passo 9

Carregando os valores de f(xi) e efetuando o somatório, encontra-se
T21approx7.31,
o que garante erro inferior a 0.1.

Resposta

Usando 21 subintervalos ( h=4/21), a aproximação pela Regra dos Trapézios Composta é
integral-1^3l(3e^-x+cos xr)dxapprox7.31,
com erro menor que 0.1.

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