Usando a primeira regra composta de Simpson ( \mathrm{h}=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+5 x+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+5x+3\right)\,dx
usando a primeira regra composta de Simpson com \mathrm{h}=1, e também determinar o valor exato da integral e o erro da aproximação.
Informações dadas e o que se pede:
  • Limites de integração: a=1 e b=7.
  • Função a integrar: f(x)=x^{2}+5x+3.
  • Passo (largura de subintervalo): \mathrm{h}=1.
  • Pedidos:
    1. Calcular a aproximação pela regra composta de Simpson com \mathrm{h}=1.
    2. Calcular o valor exato da integral.
    3. Determinar o erro (diferença entre aproximado e exato).

Passo 2

Primeiro organizamos os nós usados pela regra composta de Simpson com \mathrm{h}=1. O número de subintervalos é
n=\frac{b-a}{\mathrm{h}}=\frac{7-1}{1}=6,
que é par, portanto adequado para Simpson composto.
Os nós são
x_0=1,\; x_1=2,\; x_2=3,\; x_3=4,\; x_4=5,\; x_5=6,\; x_6=7.

Passo 3

Calculamos os valores da função nos nós. Para f(x)=x^{2}+5x+3 temos:
\begin{aligned} f(1)&=1^{2}+5\cdot1+3=9,\\\ f(2)&=2^{2}+5\cdot2+3=17,\\\ f(3)&=3^{2}+5\cdot3+3=27,\\\ f(4)&=4^{2}+5\cdot4+3=39,\\\ f(5)&=5^{2}+5\cdot5+3=53,\\\ f(6)&=6^{2}+5\cdot6+3=69,\\\ f(7)&=7^{2}+5\cdot7+3=87. \end{aligned}

Passo 4

Agora recordamos a fórmula da regra composta de Simpson (primeira regra composta de Simpson): se os nós vão de x_0 até x_n com passo \mathrm{h} e n par, então
S_{\text{comp}}=\frac{\mathrm{h}}{3}\Big(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{k=1,\,k\\ \text{ímpar}}^{n-1} f(x_k)+2\sum_{k=2,\,k\\ \text{par}}^{n-2} f(x_k)\Big).í
Aqui \mathrm{h}=1, n=6. Calculamos as somas necessárias:
  • Soma dos f nos índices ímpares k=1,3,5:
f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)=f(2)+f(4)+f(6)=17+39+69=125.
  • Soma dos f nos índices pares internos k=2,4:
f(x_2)+f(x_4)=f(3)+f(5)=27+53=80.
Substituindo na fórmula:
\begin{aligned} S_{\text{comp}}&=\frac{1}{3}\Big(f(1)+f(7)+4\cdot125+2\cdot80\Big)\\\ &=\frac{1}{3}\Big(9+87+500+160\Big)\\\ &=\frac{1}{3}\cdot 756\\\ &=252. \end{aligned}
Portanto a aproximação pela regra composta de Simpson com \mathrm{h}=1 é \;252.

Passo 5

Agora calculamos o valor exato da integral usando antiderivada. Uma primitiva de f(x)=x^{2}+5x+3 é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{5x^{2}}{2}+3x.
Avaliaremos F entre 1 e 7:
\begin{aligned} F(7)&=\frac{7^{3}}{3}+\frac{5\cdot7^{2}}{2}+3\cdot7=\frac{343}{3}+\frac{245}{2}+21,\\[4pt] F(1)&=\frac{1^{3}}{3}+\frac{5\cdot1^{2}}{2}+3\cdot1=\frac{1}{3}+\frac{5}{2}+3. \end{aligned}
Colocando em denominador comum 6:
F(7)=\frac{1547}{6},\qquad F(1)=\frac{35}{6}.
Logo a integral exata é
I=F(7)-F(1)=\frac{1547}{6}-\frac{35}{6}=\frac{1512}{6}=252.]

Passo 6

Comparando: a aproximação por Simpson deu \;252 e o valor exato é \;252. Então a diferença (erro) é
\text{erro}=S_{\text{comp}}-I=252-252=0.

Passo 7

Explicação didática do porquê do erro ser zero (isso ajuda na prova): a regra de Simpson é exata para polinômios de grau até 3. A função dada é um polinômio de grau 2, portanto a regra de Simpson (composta ou simples, contanto que os nós cubram o intervalo corretamente) integra exatamente essa função — o erro teórico envolve a derivada de quarta ordem f^{(4)}, que para polinômios de grau \le 3 é zero. Aqui f^{(4)}(x)=0 para todo x, o que confirma que o erro é nulo.

Resposta

Aproximação (Simpson composta, \mathrm{h}=1): 252
Valor exato da integral: 252
Erro: 0

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