Usando a primeira regra composta de Simpson (
), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando a primeira regra composta de Simpson com
, e também determinar o valor exato da integral e o erro da aproximação.
Informações dadas e o que se pede:
- Limites de integração:
e . - Função a integrar:
. - Passo (largura de subintervalo):
. - Pedidos:
- Calcular a aproximação pela regra composta de Simpson com
. - Calcular o valor exato da integral.
- Determinar o erro (diferença entre aproximado e exato).
- Calcular a aproximação pela regra composta de Simpson com
Passo 2
Primeiro organizamos os nós usados pela regra composta de Simpson com
. O número de subintervalos é
que é par, portanto adequado para Simpson composto.
Os nós são
Passo 3
Calculamos os valores da função nos nós. Para
temos:
Passo 4
Agora recordamos a fórmula da regra composta de Simpson (primeira regra composta de Simpson): se os nós vão de
até
com passo
e
par, então
Aqui
,
. Calculamos as somas necessárias:
- Soma dos
nos índices ímpares :
- Soma dos
nos índices pares internos :
Substituindo na fórmula:
Portanto a aproximação pela regra composta de Simpson com
é
.
Passo 5
Agora calculamos o valor exato da integral usando antiderivada. Uma primitiva de
é
Avaliaremos
entre
e
:
Colocando em denominador comum
:
Logo a integral exata é
Passo 6
Comparando: a aproximação por Simpson deu
e o valor exato é
. Então a diferença (erro) é
Passo 7
Explicação didática do porquê do erro ser zero (isso ajuda na prova): a regra de Simpson é exata para polinômios de grau até
. A função dada é um polinômio de grau
, portanto a regra de Simpson (composta ou simples, contanto que os nós cubram o intervalo corretamente) integra exatamente essa função — o erro teórico envolve a derivada de quarta ordem
, que para polinômios de grau
é zero. Aqui
para todo
, o que confirma que o erro é nulo.
Resposta
Aproximação (Simpson composta,
):
Valor exato da integral:
Erro:
Valor exato da integral:
Erro: