Usando a regra composta dos trapezios ( h=1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o erro.
I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+4 x+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Usar a regra composta dos trapézios com passo h=1 para aproximar a integral I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+4x+3\right)\,dx.
  • Calcular o valor exato dessa integral.
  • Determinar o erro (diferença entre valor exato e aproximação).
Informações dadas:
  • Função integranda: f(x)=x^{2}+4x+3.
  • Intervalo de integração: [1,7].
  • Passo para a regra composta dos trapézios: h=1.
  • Portanto o número de subintervalos é n=\dfrac{b-a}{h}=\dfrac{7-1}{1}=6. Os nós são x_0=1,x_1=2,\dots,x_6=7.

Passo 2

Explicar a regra composta dos trapézios (fórmula e o que cada coisa significa).
A regra composta dos trapézios aproxima a integral por soma de áreas de trapézios em cada subintervalo uniforme. A fórmula para n subintervalos de largura h é
T_n=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Big),
onde:
  • h é a largura de cada subintervalo ( h=(b-a)/n);
  • x_0=a e x_n=b são as extremidades do intervalo;
  • x_i=a+i h são os pontos de amostragem;
  • f(x_i) são os valores da função nesses pontos.
O erro global da regra composta dos trapézios pode ser escrito (existe \xi\in[a,b] tal que)
E_T=I-T_n= -\frac{(b-a)h^2}{12}\,f''(\xi).
Aqui f'' é a segunda derivada de f. Para funções onde f'' é constante, essa fórmula fornece um valor preciso do erro com f''(\xi)=f''.

Passo 3

Calcular os valores de f nos nós (faço as contas passo a passo).
A função é f(x)=x^{2}+4x+3.
  • f(1)=1^{2}+4\cdot1+3=1+4+3=8.
  • f(2)=2^{2}+4\cdot2+3=4+8+3=15.
  • f(3)=3^{2}+4\cdot3+3=9+12+3=24.
  • f(4)=4^{2}+4\cdot4+3=16+16+3=35.
  • f(5)=5^{2}+4\cdot5+3=25+20+3=48.
  • f(6)=6^{2}+4\cdot6+3=36+24+3=63.
  • f(7)=7^{2}+4\cdot7+3=49+28+3=80.
A soma dos pontos internos ( i=1 a 5 correspondendo a x=2 a 6) é
\sum_{i=1}^{5}f(x_i)=15+24+35+48+63=185.

Passo 4

Aplicar a fórmula do passo 2 com h=1, n=6, f(x_0)=f(1)=8 e f(x_n)=f(7)=80.
Usando
T_6=\frac{h}{2}\Big(f(x_0)+2\sum_{i=1}^{5}f(x_i)+f(x_6)\Big),
substituindo h=1,
T_6=\frac{1}{2}\Big(8+2\cdot185+80\Big)=\frac{1}{2}\big(8+370+80\big)=\frac{1}{2}\cdot458=229.
Portanto a aproximação pela regra composta dos trapézios com h=1 é T_6=229.

Passo 5

Calcular o valor exato da integral usando primitiva (antiderivada).
Uma primitiva de f(x)=x^{2}+4x+3 é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}+3x,
pois derivando F'(x)=x^{2}+4x+3.
Avaliar entre 1 e 7:
F(7)=\frac{7^{3}}{3}+2\cdot7^{2}+3\cdot7=\frac{343}{3}+98+21=\frac{343}{3}+119=\frac{343+357}{3}=\frac{700}{3},
F(1)=\frac{1^{3}}{3}+2\cdot1^{2}+3\cdot1=\frac{1}{3}+2+3=\frac{1}{3}+5=\frac{16}{3}.
Assim
I=F(7)-F(1)=\frac{700}{3}-\frac{16}{3}=\frac{684}{3}=228.
Logo o valor exato da integral é I=228.

Passo 6

Determinar o erro (diferença entre exato e aproximação) e comparar com a fórmula teórica do erro.
Erro computado diretamente:
E_{\text{real}}=I-T_6=228-229=-1.
Erro absoluto: |E_{\text{real}}|=1.
Agora usar a fórmula teórica do erro da regra composta dos trapézios. A segunda derivada de f é
f''(x)=2\quad\text{(constante)}.
A fórmula do erro global diz que existe \xi\in[1,7] tal que
E_T=I-T_6=-\frac{(b-a)h^2}{12}f''(\xi).
Como f''(\xi)=2 é constante, podemos calcular exatamente:
E_T=-\frac{(7-1)\cdot 1^2}{12}\cdot 2=-\frac{6}{12}\cdot 2=-1.
Isso coincide com o erro real calculado diretamente. Portanto o erro é de -1 (a aproximação deu um valor 1 unidade maior que o exato).

Resposta

Aproximação (regra composta dos trapézios, h=1): T_6=229
Valor exato da integral: I=228
Erro (exato menos aproximação): I-T_6=-1

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