Usando a regra composta dos trapezios (
), calcular a integral na forma aproximada
exata e determinar o erro.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Usar a regra composta dos trapézios com passo
para aproximar a integral - Calcular o valor exato dessa integral.
- Determinar o erro (diferença entre valor exato e aproximação).
Informações dadas:
- Função integranda:
. - Intervalo de integração:
. - Passo para a regra composta dos trapézios:
. - Portanto o número de subintervalos é
. Os nós são .
Passo 2
Explicar a regra composta dos trapézios (fórmula e o que cada coisa significa).
A regra composta dos trapézios aproxima a integral por soma de áreas de trapézios em cada subintervalo uniforme. A fórmula para
subintervalos de largura
é
onde:
-
é a largura de cada subintervalo ( ); -
e são as extremidades do intervalo; -
são os pontos de amostragem; -
são os valores da função nesses pontos.
O erro global da regra composta dos trapézios pode ser escrito (existe
tal que)
Aqui
é a segunda derivada de
. Para funções onde
é constante, essa fórmula fornece um valor preciso do erro com
.
Passo 3
Calcular os valores de
nos nós (faço as contas passo a passo).
A função é
.
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
A soma dos pontos internos (
a
correspondendo a
a
) é
Passo 4
Aplicar a fórmula do passo 2 com
,
,
e
.
Usando
substituindo
,
Portanto a aproximação pela regra composta dos trapézios com
é
.
Passo 5
Calcular o valor exato da integral usando primitiva (antiderivada).
Uma primitiva de
é
pois derivando
.
Avaliar entre
e
:
Assim
Logo o valor exato da integral é
.
Passo 6
Determinar o erro (diferença entre exato e aproximação) e comparar com a fórmula teórica do erro.
Erro computado diretamente:
Erro absoluto:
.
Agora usar a fórmula teórica do erro da regra composta dos trapézios. A segunda derivada de
é
A fórmula do erro global diz que existe
tal que
Como
é constante, podemos calcular exatamente:
Isso coincide com o erro real calculado diretamente. Portanto o erro é de
(a aproximação deu um valor
unidade maior que o exato).
Resposta
Aproximação (regra composta dos trapézios,
):
Valor exato da integral:
Erro (exato menos aproximação):
Valor exato da integral:
Erro (exato menos aproximação):