Use o método de Newton e da Secante para encontrar aproximações para as soluções das equações abaixo, nos intervalos indicados. Use como parada
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton e o método da secante para aproximar soluções das equações abaixo, com critério de parada
:
- (a) resolver
no intervalo . - (b) resolver
no intervalo .
Informações relevantes fornecidas (retirei diretamente do enunciado):
- Tolerância de parada:
. - Para cada equação será aplicada a ambos os métodos (Newton e secante) com pontos iniciais escolhidos dentro do intervalo pedido.
- Para cada método usarei como critério de parada a diferença entre duas iterações sucessivas: parar quando
.
Passo 2
Breve explicação didática do método de Newton (linearização):
- Dada uma função
com derivada contínua, o método de Newton constrói aproximações pela fórmula
- Ideia intuitiva: aproximar a curva por sua reta tangente em
e tomar a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação. - Nas fórmulas:
é a aproximação atual, é o valor da função nesse ponto e é a derivada (a inclinação da tangente). - Critério de parada usado aqui:
.
Passo 3
Breve explicação didática do método da secante:
- Em vez de usar a derivada exata, a secante aproxima
por uma diferença dividida entre duas aproximações anteriores:
- Nas fórmulas:
e são as duas últimas aproximações; a fração é uma estimativa da derivada (declive da secante que liga os pontos e ). - Critério de parada:
.
Agora aplico passo a passo em cada equação, mostrando iterações, cálculos de
e (quando necessário) de
, e verificando o critério
.
Passo 4
Resolução de (a)
— preparação:
- Defino
. - Derivada:
. - Observação do sinal nos extremos do intervalo:
e . Logo existe uma raiz entre e . Vou escolher pontos iniciais próximos a essa raiz para cada método.
Passo 5
Método de Newton para (a) — iterações detalhadas:
- Escolho
(está no intervalo e ). - Iteração 0
1: -
. -
. - Fórmula:
. - Numérico:
.
-
- Iteração 1
2: -
. -
. -
.
-
- Iteração 2
3: - Calculo
(numérico): -
. -
, . -
.
-
-
. -
.
- Calculo
- Verificação do critério:
-
. - Portanto paro e tomo
como aproximação pela Newton (precisão solicitada).
-
Passo 6
Método da secante para (a) — iterações detalhadas:
- Escolho dois pontos iniciais com sinais opostos:
(com ) e (com ). - Fórmula da secante:
- Iterações:
- Iteração 0,1
2: -
-
.
-
- Iteração 1,2
3: -
- Iteração 2,3
4: -
-
.
-
- Iteração 3,4
5: -
-
.
-
- Iteração 4,5
6: -
- Iteração 5,6
7: - Usando
e , obtém-se . - Diferença
, logo paro.
- Usando
- Iteração 0,1
- Assim pela secante obtenho
(aproximação no critério pedido).
Passo 7
Resumo parcial das soluções para (a):
- Newton:
. - Secante:
.
Agora passo para a equação (b).
Passo 8
Preparação para (b)
:
- Defino
. - Derivada:
. - O intervalo é
(onde ). Observações iniciais: e . Há uma raiz no intervalo (é a conhecida solução do ponto fixo , aproximadamente ).
Passo 9
Método de Newton para (b) — iterações detalhadas:
- Escolho
(é um palpite razoável dentro do intervalo). - Iteração 0
1: -
. Usando , temos . -
. Usando , temos . -
.
-
- Iteração 1
2: - Calculo
. Com e (valor aproximado), obtém-se . -
(valor aproximado). -
.
- Calculo
- Iteração 2
3: -
já é pequeno; calculando dá . -
.
-
- Verificação do critério:
-
. - Portanto pela Newton obtenho
.
-
(Nota amigável: esse é o famoso ponto onde
; o método de Newton converge rápido aqui.)
Passo 10
Método da secante para (b) — iterações detalhadas:
- Escolho os extremos do intervalo como pontos iniciais:
(com ) e (com ). - Iteração 0,1
2: -
. - Calculando numericamente:
. -
.
-
- Iteração 1,2
3: -
. -
.
-
- Iteração 2,3
4: -
. -
.
-
- Iteração 3,4
5: -
(após aplicar a fórmula com e ). - Diferença
fica menor que (na ordem ou menor).
-
- Portanto a secante dá como aproximação
(no critério pedido).
Passo 11
Comparação rápida (motivacional):
- Para (a) ambos os métodos convergiram para a mesma raiz (valores muito próximos; pequenas diferenças vêm de arredondamento e do comportamento dos métodos).
- Para (b) Newton convergiu muito rapidamente (três iterações a partir de
); a secante também converge bem a partir dos extremos do intervalo.
Resposta
(a) Newton:
(a) Secante:
(b) Newton:
(b) Secante:
(a) Secante:
(b) Newton:
(b) Secante: