Use os métodos de Newton e da Secante para encontrar soluções precisas dentro de 10^-5 para os seguintes problemas.
ln (x-1)+cos (x-1)=0, para 1.3 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a raíz da função
f(x)=ln(x-1)+cos(x-1)
no intervalo xn+1=xn-f(xn)f'(xn) com precisão de xn+1=xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1) , usando dois métodos: Newton e Secante.
Conteúdo: método de iteração para achar raízes de equações não lineares.
O que precisamos:
  • Definir e sua derivada .
  • Saber a fórmula do método de Newton:
  • Saber a fórmula do método da Secante:
Pronto! Agora vamos ao cálculo passo a passo.

Passo 2

Aplicando o método de Newton
  1. Definimos
    f(x)=ln(x-1)+cos(x-1), f'(x)=1x-1-sin(x-1)
  2. Escolhemos um chute inicial razoável, por exemplo xn+1=xn - f(xn)f'(xn), .
  3. Iteramos
    xNewtonapprox1.398177
    até que .
  4. Fazendo as contas:
    n=0:
    n=1:
    n=2:
    n=3:
    n=4:
    n=5:
    Aqui já temos .
    Então, pelo método de Newton,

Passo 3

Aplicando o método da Secante
  1. Pegamos as duas bordas do intervalo como chutes: xn+1 =xn - f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1), , xSecanteapprox1.398245 .
  2. Iteramos pela fórmula
    até que .
  3. Fazendo as contas (mostrando alguns passos):
    • , com .
    Logo, pelo método da Secante,

Resposta

  • Raiz pelo método de Newton: .
  • Raiz pelo método da Secante: .

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