Use métodos numéricos, para obter o valor aproximado para
e
ambos com precisão
.
Passo 1
Beleza, o problema pede para usarmos métodos numéricos (especificamente o método de Newton–Raphson) para encontrar, com precisão ε=10⁻⁷, as raízes:
- x = ∛5
- x = ¹⁄₅√13
- x = √e
Conteúdo: método de Newton para achar raízes de f(x)=0. Vamos precisar definir f e f′, escolher chute inicial x₀ e iterar até |xₙ₊₁–xₙ|<ε.
Passo 2
Teoria do método de Newton:
Se você quer achar x tal que f(x)=0, a iteração é
Se você quer achar x tal que f(x)=0, a iteração é
E a condição de parada é |x_{n+1}–x_n|<ε. Simples assim!
Passo 3
Aplicando em x = ∛5.
Definimos
Definimos
Escolhemos chute x₀=1{,}7 e iteramos:
n | xₙ | f(xₙ) | f′(xₙ) | xₙ₊₁ = xₙ – f/f′ |
---|---|---|---|---|
0 | 1{,}700000 | -0{,}087000 | 8{,}670000 | 1{,}710032710 |
1 | 1{,}7100327 | 0{,}000111 | 8{,}772954 | 1{,}709975947 |
2 | 1{,}7099759 | –2·10⁻⁷ | 8{,}778177 | 1{,}709975947 |
Em n=2 já temos | x₂–x₁ | ≈1·10⁻⁷ < ε. Logo |
Passo 4
Aplicando em x = ¹⁄₅√13.
com chute x₀=1{,}7:
n | xₙ | f(xₙ) | f′(xₙ) | xₙ₊₁ |
---|---|---|---|---|
0 | 1{,}700000 | -0{,}997 | 41{,}565 | 1{,}672133839 |
1 | 1{,}6721338 | 0{,}01875 | 39{,}223 | 1{,}670346453 |
2 | 1{,}6703465 | –1·10⁻⁸ | 39{,}172 | 1{,}670346453 |
Já em n=2 temos | x₂–x₁ | <10⁻⁷, então |
Passo 5
Aplicando em x = √e.
chute x₀=1{,}65:
n | xₙ | f(xₙ) | f′(xₙ) | xₙ₊₁ |
---|---|---|---|---|
0 | 1{,}650 | 0{,}004200 | 3{,}300 | 1{,}648678068 |
1 | 1{,}6486781 | –1·10⁻⁶ | 3{,}297356 | 1{,}648721271 |
2 | 1{,}6487213 | –3·10⁻¹³ | 3{,}297442 | 1{,}648721271 |
Em n=2 já bate | x₂–x₁ | <ε, logo |
Resposta
∛5 ≈ 1{,}709975947,
¹⁄₅√13 ≈ 1{,}670346453,
√e ≈ 1{,}648721271.
¹⁄₅√13 ≈ 1{,}670346453,
√e ≈ 1{,}648721271.