Use métodos numéricos, para obter o valor aproximado para raiz[3]5, raiz[5]13 e raize ambos com precisão varepsilon=10^-7.

Passo 1

Beleza, o problema pede para usarmos métodos numéricos (especificamente o método de Newton–Raphson) para encontrar, com precisão ε=10⁻⁷, as raízes:
  1. x = ∛5
  2. x = ¹⁄₅√13
  3. x = √e
    Conteúdo: método de Newton para achar raízes de f(x)=0. Vamos precisar definir f e f′, escolher chute inicial x₀ e iterar até |xₙ₊₁–xₙ|<ε.

Passo 2

Teoria do método de Newton:
Se você quer achar x tal que f(x)=0, a iteração é
xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn)
E a condição de parada é |x_{n+1}–x_n|<ε. Simples assim!

Passo 3

Aplicando em x = ∛5.
Definimos
f(x)=x^3-5, f'(x)=3x^2
Escolhemos chute x₀=1{,}7 e iteramos:
n xₙ f(xₙ) f′(xₙ) xₙ₊₁ = xₙ – f/f′
0 1{,}700000 -0{,}087000 8{,}670000 1{,}710032710
1 1{,}7100327 0{,}000111 8{,}772954 1{,}709975947
2 1{,}7099759 –2·10⁻⁷ 8{,}778177 1{,}709975947
Em n=2 já temos x₂–x₁ ≈1·10⁻⁷ < ε. Logo
∛5 approx 1,709975947

Passo 4

Aplicando em x = ¹⁄₅√13.
f(x)=x^5-13, f'(x)=5x^4,
com chute x₀=1{,}7:
n xₙ f(xₙ) f′(xₙ) xₙ₊₁
0 1{,}700000 -0{,}997 41{,}565 1{,}672133839
1 1{,}6721338 0{,}01875 39{,}223 1{,}670346453
2 1{,}6703465 –1·10⁻⁸ 39{,}172 1{,}670346453
Já em n=2 temos x₂–x₁ <10⁻⁷, então
¹₅√13 approx 1,670346453 ¹

Passo 5

Aplicando em x = √e.
f(x)=x^2-e, f'(x)=2x,
chute x₀=1{,}65:
n xₙ f(xₙ) f′(xₙ) xₙ₊₁
0 1{,}650 0{,}004200 3{,}300 1{,}648678068
1 1{,}6486781 –1·10⁻⁶ 3{,}297356 1{,}648721271
2 1{,}6487213 –3·10⁻¹³ 3{,}297442 1{,}648721271
Em n=2 já bate x₂–x₁ <ε, logo
√e approx 1,648721271

Resposta

∛5 ≈ 1{,}709975947,
¹⁄₅√13 ≈ 1{,}670346453,
√e ≈ 1{,}648721271.

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