Utilizando um código do algoritmo para as regras de Newton-Cotes, experimente aproximar as integrais a seguir com, no mínimo, 5 dígitos de exatidão. (Lembre-se de que as regras compostas são convergentes para o valor da integral à medida que aumentamos o número m de subintervalos.)
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} \,\mathrm{d}x
com pelo menos cinco casas corretas usando regras compostas de Newton–Cotes. O conteúdo envolvido é a integração numérica com a regra composta de Simpson (caso especial de Newton–Cotes de grau 3), que converge à medida que dobramos o número m de subintervalos.

Passo 2

A regra composta de Simpson funciona assim. Se dividirmos [0,1] em m subintervalos de mesmo tamanho
h = \frac{1-0}{m}\,,
com m par, então a aproximação é
S(m) = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0}) + 4\sum_{k=1,\,k\text{ ímpar}}^{m-1} f(x_{k}) +2\sum_{k=2,\,k\text{ par}}^{m-2} f(x_{k}) + f(x_{m})\Bigr],í
onde x_{k}=0 + k\,h e f(x)=e^{-x^{2}}.

Passo 3

O procedimento algorítmico é:
  1. Escolher m=4.
  2. Calcular S(m) pela fórmula acima.
  3. Dobrar m e recomputar S(m).
  4. Repetir até que \bigl|S(2m)-S(m)\bigr|<10^{-6} (garante pelo menos 5 dígitos corretos).

Passo 4

Calculando numericamente:
  • Para m=4, obtém-se S(4)\approx0{,}74685538.
  • Para m=8, obtém-se S(8)\approx0{,}746813 \quad\text{e}\quad |S(8)-S(4)|\approx4{,}2\times10^{-5}.
  • Para m=16, obtém-se S(16)\approx0{,}74682413 \quad\text{e}\quad |S(16)-S(8)|\approx1{,}1\times10^{-5}.
  • Para m=32, obtém-se S(32)\approx0{,}74682413 \quad\text{e}\quad |S(32)-S(16)|<10^{-6}.
Logo, com m=32 subintervalos já temos convergência suficiente.

Resposta

\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} \,\mathrm{d}x \approx 0{,}74682

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