Utilize um método iterativo e calcule as três primeiras iterações do sistema a seguir.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra usar um método iterativo (tipo Jacobi ou Gauss–Seidel) e fazer as três primeiras iterações de um sistema de 4 equações. Isso é parte de Álgebra Linear / Métodos Numéricos: a ideia é reescrever cada variável isolada na própria equação e, a partir de um chute inicial, atualizar os valores a cada iteração. Aqui a gente vai usar o método de Jacobi (o mais direto) e assumir como chute inicial
x^(0) = (0,0,0,0)

Passo 2

No método de Jacobi, a gente isola cada 3x1-2x2+5x3+x4=7, -6x1+4x2-8x3+x4=-9, 9x1-6x2+19x3+x4=23, 6x1-4x2-6x3+15x4=11, na i-ésima equação, usando só os valores da iteração anterior. Para o nosso sistema
x1 &= 7 + 2x2 -5x3 -x43, x2 &= -9 +6x1 +8x3 -x44, x3 &= 23 -9x1 +6x2 -x419, x4 &= 11 -6x1 +4x2 +6x315
isola-se:
A cada iteração , você calcula cada usando só os .

Passo 3

Iteração 1 ( x1^(1) &= 7 + 2cdot 0 -5cdot0 -03 = 73approx 2.3333, x2^(1) &= -9 +6cdot 0 +8cdot0 -04 = -94 = -2.2500, x3^(1) &= 23 -9cdot 0 +6cdot0 -019 = 2319approx 1.2105, x4^(1) &= 11 -6cdot 0 +4cdot0 +6cdot015 = 1115approx 0.7333 ), com :

Passo 4

Iteração 2 ( x1^(2) &= 7 + 2(-2.25) -5(1.2105) -0.73333 approx -1.4286, x2^(2) &= -9 +6(2.3333) +8(1.2105) -0.73334 approx 3.4876, x3^(2) &= 23 -9(2.3333) +6(-2.25) -0.733319 approx -0.6438, x4^(2) &= 11 -6(2.3333) +4(-2.25) +6(1.2105)15 approx -0.3158 ), usando :

Passo 5

Iteração 3 ( x1^(3) &= 7 +2(3.4876) -5(-0.6438) -(-0.3158)3 approx 5.8367, x2^(3) &= -9 +6(-1.4286) +8(-0.6438) -(-0.3158)4 approx -5.6016, x3^(3) &= 23 -9(-1.4286) +6(3.4876) -(-0.3158)19 approx 3.0052, x4^(3) &= 11 -6(-1.4286) +4(3.4876) +6(-0.6438)15 approx 1.9773 ), usando :

Resposta

As três primeiras aproximações pelo método de Jacobi são:
x^(1) approx (2.3333,,-2.2500,,1.2105,,0.7333), x^(2) approx (-1.4286,,3.4876,,-0.6438,,-0.3158), x^(3) approx (5.8367,,-5.6016,,3.0052,,1.9773)

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