1. Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de 10^-4 do valor de x que produza o ponto no gráfico de y=1 / x mais próximo a (2,1).

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos achar, por Newton, o valor de xn+1=xn-f'(xn)f''(xn) que faz o ponto no gráfico de ficar o mais próximo possível de . Isso é um problema de otimização: minimizamos a distância (ao quadrado) entre e .
Conteúdo: método de Newton para achar raízes (no caso, da derivada da função de custo).
O que vamos precisar:
  • Montar a função de custo .
  • Calcular e .
  • Aplicar a fórmula de Newton
até que .

Passo 2

Definimos a função de custo (distância ao quadrado):
f(x) = (x-2)^2 + l(tfrac1x - 1r)^2
Por que o quadrado? Facilita derivar e não muda o ponto mínimo.
Agora vamos achar a derivada primeira .

Passo 3

Derivando termo a termo:
  1. f'(x) = 2(x-2) - 2,tfrac1x-1x^2
  2. f'(x) = 2l[(x-2) - tfrac1/x-1x^2r]
    Logo
g(x) = (x-2) - 1/x-1x^2,
Para o método de Newton, precisamos também de g(x)=x-2 - l(x^-3-x^-2r), g'(x)=1 + 3x^-4 -2x^-3 . Derivamos :
Seja
então e .
Calculando

Passo 4

Fórmula do Newton para resolver xn+1 ;=; xn ;-;f'(xn)f''(xn) ;=; xn ;-;g(xn)g'(xn) é
xn+1 = xn ;-; ,xn - 2 - xn^-3 + xn^-2, ,1 + 3xn^-4 - 2xn^-3,
Explicitando

Passo 5

Escolhemos chute inicial (próximo de onde queremos).
Fazendo as iterações até :
  • Iteração 1: , diferença .
  • Iteração 2: , diferença .
  • Iteração 3: , diferença .

Resposta

Aproximação de boxedx approx 1.8668 com precisão :

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