- Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de
do valor de
que produza o ponto no gráfico de
mais próximo a
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos achar, por Newton, o valor de
que faz o ponto
no gráfico de
ficar o mais próximo possível de
. Isso é um problema de otimização: minimizamos a distância (ao quadrado) entre
e
.
Conteúdo: método de Newton para achar raízes (no caso, da derivada da função de custo).
O que vamos precisar:
Conteúdo: método de Newton para achar raízes (no caso, da derivada da função de custo).
O que vamos precisar:
- Montar a função de custo
. - Calcular
e . - Aplicar a fórmula de Newton
até que
.
Passo 2
Definimos a função de custo (distância ao quadrado):
Por que o quadrado? Facilita derivar e não muda o ponto mínimo.
Agora vamos achar a derivada primeira .
Agora vamos achar a derivada primeira
Passo 3
Derivando termo a termo:
-
-
Logo
Para o método de Newton, precisamos também de
. Derivamos
:
Seja
então
e
.
Calculando
Calculando
Passo 4
Fórmula do Newton para resolver
é
Explicitando
Passo 5
Escolhemos chute inicial
(próximo de onde queremos).
Fazendo as iterações até :
Fazendo as iterações até
- Iteração 1:
, diferença . - Iteração 2:
, diferença . - Iteração 3:
, diferença .
Resposta
Aproximação de
com precisão
: