- Utilize o método de Newton para resolver a equação
Faça iterações, utilizando o método de Newton, até a precisão de
ser alcançada. Explique por que o resultado não parece normal para o método de Newton. Além disso, resolva a equação com
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
usando o método de Newton, começando com
, e iterar até que a precisão
seja alcançada. Depois, resolver (ou analisar a convergência) para
e
.
Informações dadas e o que se pede:
- Função a ser anulada:
. - Método a usar: método de Newton (iteração
). - Critério de parada: precisão
(vamos usar o critério usual ). - Três situações iniciais:
, , .
Passo 2
Primeiro, simplifico a função para entender melhor o problema (isto é crucial para explicar por que o método pode comportar-se de forma “anormal”):
Começo usando a identidade . Substituindo em
,
Começo usando a identidade
Agrupando termos constantes
e reescrevendo,
Agora observo que isso é um quadrado perfeito:
Portanto a equação
é equivalente a
Observação importante: como
é um quadrado, toda raiz de
é uma raiz dupla de
(ou seja, zero de multiplicidade
para
). Isso influencia fortemente a taxa de convergência do método de Newton aplicado diretamente em
— explico mais adiante.
Passo 3
Calculo
explicitamente a partir de
. Usando a regra da cadeia,
Definindo
(a função “raiz simples” por baixo do quadrado), temos
e
A iteração de Newton em
fica então
Isto é muito útil: a iteração de Newton em
equivale a metade do passo de Newton que se tomaria resolvendo
. Em palavras: o passo é
em vez de
.
Consequência teórica (por que o comportamento “não parece normal”):
- Como
tem raiz de multiplicidade , o método de Newton aplicado diretamente a tem convergência apenas linear (não quadrática), com taxa assintótica aproximadamente . Mais intuitivamente, perto da raiz tem-se aproximadamente
ou seja, o erro é reduzido por cerca de
a cada iteração (convergência linear lenta). É por isso que o resultado “não parece normal” — o Newton clássico costuma convergir quadraticamente quando a raiz é simples; aqui, por causa do quadrado, a convergência é apenas linear.
Passo 4
Agora aplico numericamente a iteração simplificada
com
. Faço algumas iterações explícitas para mostrar a evolução (valores apresentados com vírgula decimal, conforme pedido):
Cálculos iniciais (valores úteis):
.
.
.
.
Agora a iteração:
Repare que esse
é exato na precisão mostrada porque
.
Faço mais duas iterações numéricas (mostro as fórmulas e os números arredondados):
-
Calculo para
:
-
Para
:
calculando(numéricos),
(valores aproximados),
(a correção diminui).
Observação prática: já se nota a redução do erro por aproximadamente fator
a cada iteração (erro inicial
≈ metade do anterior, etc.). Fazer todas as iterações manualmente até
seria tedioso — mas agora usemos a propriedade assintótica.
Passo 5
Uso da aproximação assintótica para estimar quantas iterações são necessárias e o valor final:
-
Seja
a raiz positiva não nula da equação . Numericamente (resolvendo por métodos rápidos) obtém-se (há também as raízes simétricase .) -
Para Newton aplicado a
(raiz dupla), a convergência assintótica satisfaz Assim, aproximamos -
Para
temos .
Queremos. Assintoticamente . Logo exigimos Substituindo, Tomando logaritmos obtemos. Ou seja, são necessárias cerca de iterações para que a diferença entre iterados seja menor que . -
Portanto, após
iterações temos, pela fórmula assintótica, A diferençaé aproximadamente , logo o critério é satisfeito em .
Passo 6
Análise dos casos
e
:
-
Para
(ou seja ):
calculemos os primeiros passos analiticamente observando quee . Então AssimNo passo seguinte, usando identidades trigonométricas, verifica-se quee . Com esses valores a correção seguinte torna bem maior (salta para algo como ). Ou seja, a iteração não se aproxima do intervalo onde as raízes reais existem; ao contrário, as iterações oscilam e crescem em magnitude dependendo do denominador (que pode ser pequeno ou mudar de sinal). Assim, o método de Newton aplicado a com não converge para uma raiz real do problema — na prática as iteradas divergem/oscillam. -
Para
(ou seja ):
temos. Daí . Então que já é maior do que. Logo as iterações “explodem” para valores cada vez maiores; não há convergência para uma raiz real. Em suma: para esses pontos iniciais múltiplos de o método de Newton em não converge (produz saltos grandes, oscilatórios ou diverge para infinito).