Utilize o método de Newton para encontrar soluções com precisão de 10^{-4} para os problemas a seguir.
x^{3}-2 x^{2}-5=0,[1,4]

Passo 1

O enunciado pede a raiz da equação
f(x)=x^{3}-2x^{2}-5=0
no intervalo [1,4], usando o método de Newton com precisão 10^{-4}. Nesse método usamos a iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
e paramos quando \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<10^{-4}.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=3x^{2}-4x.
Como f(1)<0, f(4)>0 e f' não muda de sinal em [1,4], a convergência está garantida. Escolhemos o chute inicial
x_{0}=3.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Newton para obter x_{1} e x_{2}:
x_{1} =3-\frac{3^{3}-2\cdot3^{2}-5}{3\cdot3^{2}-4\cdot3} =3-\frac{27-18-5}{27-12} =3-\frac{4}{15} =2,7333,
f(x_{1})\approx0,4871,\quad f'(x_{1})\approx11,4840 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} =2,7333-\frac{0,4871}{11,4840} \approx2,69093.

Passo 4

Continuamos até satisfazer o critério de parada:
f(x_{2})\approx0,00240,\quad f'(x_{2})\approx10,9568 \quad\Longrightarrow\quad x_{3} =2,69093-\frac{0,00240}{10,9568} \approx2,69072,
f(x_{3})\approx0,000017,\quad f'(x_{3})\approx10,9559 \quad\Longrightarrow\quad x_{4} =2,69072-\frac{0,000017}{10,9559} \approx2,69072.
Aqui
\lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx2\times10^{-5}<10^{-4},
logo paramos.

Resposta

A raiz aproximada é x\approx2,6907.

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