Utilize o método de Newton-Raphson para aproximar a raiz da equação f(x)=0.
  • Realize duas interações, a partir do valor inicial fórnecido.
  • Apresente os resultados com quatro casas decimais.
  • Mostre os cálculos realizados em cada etapa (fórmula aplioada, valores de f\left(x_{n}\right) e f^{\prime}\left(x_{n}\right) ).
    (Função com logaritmo - crescimento lento) Uma equação envolvendo crescimentó logarítmico é dada por f(x)= \ln (x)+x. Utilize f^{\prime}(x), com aproxímação inicial x_{0}=0,5. Aplique duas iterações do método de Newton-Ráphson. Explique por que o chute inicial precisa ser positivo nesse caso.

Passo 1

Temos a equação
f(x)=\ln(x)+x=0
e queremos aproximar sua raiz pelo método de Newton–Raphson, cujas fórmulas são
f'(x)=\frac{1}{x}+1,
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
O chute inicial é x_0=0,5. Faremos duas iterações e arredondaremos os resultados a quatro casas decimais.

Passo 2

Primeira iteração ( n=0):
Calculemos
f(x_0)=\ln(0,5)+0,5=-0,6931+0,5=-0,1931,
f'(x_0)=\frac{1}{0,5}+1=2+1=3.
Logo,
x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0,5 - \frac{-0,1931}{3} = 0,5 + 0,0644 = 0,5644.

Passo 3

Segunda iteração ( n=1):
Calculemos
f(x_1)=\ln(0,5644)+0,5644\approx -0,5718+0,5644=-0,0074,
f'(x_1)=\frac{1}{0,5644}+1\approx1,7719+1=2,7719.
Logo,
x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 0,5644 - \frac{-0,0074}{2,7719} = 0,5644 + 0,0027 = 0,5671.

Passo 4

Como a função envolve \ln(x), seu domínio é x>0. Por isso o chute inicial precisa ser positivo, para que f(x_0) e f'(x_0) estejam bem definidos.

Resposta

x_1 = 0,5644
x_2 = 0,5671

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