1. Utilize o método de Steffensen com p_{0}=2 para calcular uma aproximação de \sqrt{3} com precisão de 10^{-4}. Compare o resultado com os resultados do Exercício 9 da Seção 2.2 e do Exercício 12 da Seção 2.1.

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método de Steffensen com p_{0}=2 para calcular uma aproximação de \sqrt{3} com precisão 10^{-4}. Informações dadas:
  • Valor inicial: p_{0}=2.
  • Objetivo: encontrar uma aproximação de \sqrt{3} tal que o erro absoluto seja menor que 10^{-4} (isto é, |\text{aprox} - \sqrt{3}| < 10^{-4}).
  • Método indicado: método de Steffensen (pressiona um processo de aceleração Aitken para uma iteração de ponto fixo).
    O enunciado também pede uma comparação com os resultados do Exercício 9 da Seção 2.2 e do Exercício 12 da Seção 2.1, mas esses resultados não foram fornecidos aqui. Vou computar a aproximação por Steffensen e, ao final, explico o que posso comparar qualitativamente e aviso sobre a impossibilidade de uma comparação numérica sem os valores desses exercícios.

Passo 2

O que é o método de Steffensen (explicação didática)?
  • Suponha que temos uma iteração de ponto fixo x_{n+1}=g(x_n) que converge (linearmente, em geral) para um ponto fixo r (no nosso caso, r=\sqrt{3}).
  • Steffensen aplica a técnica de aceleração de Aitken à sequência gerada por g, construindo uma aproximação acelerada:
    • Defina \Delta x_n = g(x_n)-x_n e \Delta^2 x_n = g(g(x_n)) - 2g(x_n) + x_n.
    • A fórmula prática usada em Steffensen (forma de Aitken) é
    x_{n}^{(\text{Steff})} = x_n - \frac{(g(x_n)-x_n)^2}{g(g(x_n)) - 2g(x_n) + x_n}.
  • Nesta fórmula:
    • x_n é o ponto atual (no nosso uso será p_0,p_1,\dots).
    • g(x_n) é o primeiro passo da iteração de ponto fixo (vou chamar isso de p_1 quando x_n=p_0).
    • g(g(x_n)) é o segundo passo (vou chamar isso de p_2).
  • Interpretação simples: Steffensen tenta estimar a razão entre termos sucessivos usando diferenças finitas e elimina a aproximação linear, tornando a convergência, frequentemente, quadrática (sem precisar da derivada, ao contrário de Newton).

Passo 3

Escolha de g para encontrar \sqrt{3}.
  • Temos que resolver x^2-3=0. Uma escolha natural e simples para g é a iteração de Babilônia / Newton para raízes quadradas:
g(x)=\frac{x+\dfrac{3}{x}}{2}.
  • Justificativa: g(x) tem \sqrt{3} como ponto fixo, e os cálculos ficam simples e sem necessidade de derivadas adicionais. Vou aplicar Steffensen usando este g.

Passo 4

Preparando a primeira iteração de Steffensen (com p_0=2):
  • Defino p_0=2.
  • Calculo p_1=g(p_0):
p_1 = g(2)=\frac{2+\dfrac{3}{2}}{2}=\frac{2+1{,}5}{2}=\frac{3{,}5}{2}=1{,}75.
  • Calculo p_2=g(p_1):
p_2 = g(1{,}75)=\frac{1{,}75+\dfrac{3}{1{,}75}}{2}.
Aqui \dfrac{3}{1{,}75}=1{,}7142857142857142 (resultado de dividir 3 por 1{,}75), então
p_2=\frac{1{,}75+1{,}7142857142857142}{2}= \frac{3{,}4642857142857144}{2}=1{,}7321428571428572.
  • Aplico a fórmula de Steffensen:
p^{(1)} = p_0 - \frac{(p_1-p_0)^2}{p_2-2p_1+p_0}.
Substituindo os números:
p_1-p_0 = 1{,}75-2 = -0{,}25,\qquad (p_1-p_0)^2=0{,}0625,
p_2-2p_1+p_0 = 1{,}7321428571428572 - 2(1{,}75) + 2 = 0{,}23214285714285716.
Logo
p^{(1)} = 2 - \frac{0{,}0625}{0{,}23214285714285716} = 2 - 0{,}2692307692307692 = 1{,}7307692307692308.
  • Conclusão da iteração 1: a aproximação acelerada é p^{(1)}\approx 1{,}7307692307692308.

Passo 5

Verificação de precisão após a primeira iteração:
  • Valor verdadeiro (conhecido) \sqrt{3}\approx 1{,}7320508075688772.
  • Erro absoluto da aproximação p^{(1)}:
\big|p^{(1)}-\sqrt{3}\big| \approx |1{,}7307692307692308 - 1{,}7320508075688772| \approx 0{,}0012815767996464,
que é maior que 10^{-4}. Portanto não alcançamos a precisão pedida; é necessário repetir o processo usando p_0 \leftarrow p^{(1)}.

Passo 6

Segunda iteração de Steffensen (usando valores racionais exatos quando possível):
  • Agora tomo p_0= p^{(1)} = \dfrac{45}{26} = 1{,}7307692307692308 (note que esse número é exatamente 45/26).
  • Calculo p_1=g(p_0). Usando frações:
p_1 = \frac{p_0 + 3/p_0}{2} = \frac{\dfrac{45}{26} + \dfrac{3}{45/26}}{2} = \frac{\dfrac{45}{26} + \dfrac{78}{45}}{2} = \frac{1351}{780} \approx 1{,}732051282051282.
  • Calculo p_2=g(p_1). Em frações:
p_2 = \frac{p_1^2 + 3}{2p_1} = \frac{3\,650\,401}{2\,107\,560} \approx 1{,}732050792574\ldots
(essa expressão veio da simplificação exata das frações; o decimal mostrado é aproximação).
  • Aplico a fórmula de Steffensen novamente:
p^{(2)} = p_0 - \frac{(p_1-p_0)^2}{p_2-2p_1+p_0}.
Usando as frações e simplificações (cálculo mostrado nos passos intermédios):
p_1-p_0 = \frac{2702}{2\,107\,560},\qquad p_2-2p_1+p_0 = -\frac{2703}{2\,107\,560}.
Portanto a fração se simplifica e numericamente obtemos
p^{(2)} \approx 1{,}732050523\\ \text{(aprox.)}.
  • Verificação do erro:
\big|p^{(2)}-\sqrt{3}\big| \approx |1{,}732050523 - 1{,}7320508075688772| \approx 2{,}85\times 10^{-7}.
Esse erro é menor que 10^{-4}, portanto a precisão requerida foi atingida.

Passo 7

Interpretação e observações finais sobre o processo:
  • O método de Steffensen, com g(x)=\dfrac{x+3/x}{2} e p_0=2, atingiu a precisão 10^{-4} em duas iterações de Steffensen (ou seja, dois passos do esquema acelerado).
  • Steffensen costuma transformar uma convergência linear em quase quadrática sem avaliar derivadas; por isso frequentemente precisa de poucas iterações.
  • Importante: no cálculo usei aritmética com frações para manter precisão nos passos; na prova isso ajuda a evitar erros de arredondamento desnecessários.

Resposta

Aproximação por Steffensen: 1{,}732050523 (aprox.; erro absoluto \approx 2{,}85\times 10^{-7}<10^{-4}).\nComparação: não posso comparar numericamente com os resultados do Exercício 9 da Seção 2.2 e do Exercício 12 da Seção 2.1 porque os valores desses exercícios não foram fornecidos aqui; qualitativamente, o método de Steffensen convergiu muito rápido (atingiu a precisão em 2 iterações), comportamento semelhante ao de métodos quadráticos (como Newton) e bem mais rápido do que iterações puramente lineares.

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