Utilize o método de Steffensen com p_{0}=2 para calcular uma aproximação de \sqrt{3} com precisão de 10^{-4}. Compare o resultado com os resultados do Exercício 9 da Seção 2.2 e do Exercício 12 da Seção 2.1.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método de Steffensen com p_{0}=2 para calcular uma aproximação de \sqrt{3} com precisão 10^{-4}. Informações dadas:
Valor inicial: p_{0}=2.
Objetivo: encontrar uma aproximação de \sqrt{3} tal que o erro absoluto seja menor que 10^{-4} (isto é, |\text{aprox} - \sqrt{3}| < 10^{-4}).
Método indicado: método de Steffensen (pressiona um processo de aceleração Aitken para uma iteração de ponto fixo).
O enunciado também pede uma comparação com os resultados do Exercício 9 da Seção 2.2 e do Exercício 12 da Seção 2.1, mas esses resultados não foram fornecidos aqui. Vou computar a aproximação por Steffensen e, ao final, explico o que posso comparar qualitativamente e aviso sobre a impossibilidade de uma comparação numérica sem os valores desses exercícios.
Passo 2
O que é o método de Steffensen (explicação didática)?
Suponha que temos uma iteração de ponto fixo x_{n+1}=g(x_n) que converge (linearmente, em geral) para um ponto fixo r (no nosso caso, r=\sqrt{3}).
Steffensen aplica a técnica de aceleração de Aitken à sequência gerada por g, construindo uma aproximação acelerada:
x_n é o ponto atual (no nosso uso será p_0,p_1,\dots).
g(x_n) é o primeiro passo da iteração de ponto fixo (vou chamar isso de p_1 quando x_n=p_0).
g(g(x_n)) é o segundo passo (vou chamar isso de p_2).
Interpretação simples: Steffensen tenta estimar a razão entre termos sucessivos usando diferenças finitas e elimina a aproximação linear, tornando a convergência, frequentemente, quadrática (sem precisar da derivada, ao contrário de Newton).
Passo 3
Escolha de g para encontrar \sqrt{3}.
Temos que resolver x^2-3=0. Uma escolha natural e simples para g é a iteração de Babilônia / Newton para raízes quadradas:
g(x)=\frac{x+\dfrac{3}{x}}{2}.
Justificativa: g(x) tem \sqrt{3} como ponto fixo, e os cálculos ficam simples e sem necessidade de derivadas adicionais. Vou aplicar Steffensen usando este g.
Passo 4
Preparando a primeira iteração de Steffensen (com p_0=2):
Esse erro é menor que 10^{-4}, portanto a precisão requerida foi atingida.
Passo 7
Interpretação e observações finais sobre o processo:
O método de Steffensen, com g(x)=\dfrac{x+3/x}{2} e p_0=2, atingiu a precisão 10^{-4} em duas iterações de Steffensen (ou seja, dois passos do esquema acelerado).
Steffensen costuma transformar uma convergência linear em quase quadrática sem avaliar derivadas; por isso frequentemente precisa de poucas iterações.
Importante: no cálculo usei aritmética com frações para manter precisão nos passos; na prova isso ajuda a evitar erros de arredondamento desnecessários.
Resposta
Aproximação por Steffensen: 1{,}732050523 (aprox.; erro absoluto \approx 2{,}85\times 10^{-7}<10^{-4}).\nComparação: não posso comparar numericamente com os resultados do Exercício 9 da Seção 2.2 e do Exercício 12 da Seção 2.1 porque os valores desses exercícios não foram fornecidos aqui; qualitativamente, o método de Steffensen convergiu muito rápido (atingiu a precisão em 2 iterações), comportamento semelhante ao de métodos quadráticos (como Newton) e bem mais rápido do que iterações puramente lineares.