Utilize uma série de Taylor (conforme a Eq. 2.1 das Notas de Aula) para aproximar a funçāo:
f(x)=a exp (-b x)
na vizinhança do ponto xo=1. Assuma que a e b sejam constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar uma série de Taylor para aproximar a função perto de . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente séries de potência e aproximações de funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série de Taylor e calcular algumas derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)2!(x - x0)^2 + dots centrada em :
Isso significa que a gente aproxima a função usando seus valores e derivadas no ponto .

Passo 3

Vamos calcular f(1) = a e^-b cdot 1 = a e^-b , onde :
Então, o primeiro termo da série é .

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de f'(x) = ddx ( a e^-b x ) = -a b e^-b x :
f'(1) = -a b e^-b
E avaliando em :
Esse é o coeficiente do termo linear na série de Taylor.

Passo 5

Podemos decidir até qual ordem queremos expandir a série. Vamos parar na primeira derivada para uma aproximação linear:
f(x) approx f(1) + f'(1)(x - 1)
Substituindo os valores que calculamos:
f(x) approx a e^-b - a b e^-b (x - 1)

Resposta

A aproximação da função f(x) approx a e^-b - a b e^-b (x - 1) na vizinhança de usando a série de Taylor até a primeira derivada é:

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