Utilize uma série de Taylor (conforme a Eq. 2.1 das Notas de Aula) para aproximar a funçāo:
na vizinhança do ponto
. Assuma que
e
sejam constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar uma série de Taylor para aproximar a função
perto de
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente séries de potência e aproximações de funções. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série de Taylor e calcular algumas derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função
centrada em
:
Isso significa que a gente aproxima a função usando seus valores e derivadas no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular
, onde
:
Então, o primeiro termo da série é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
:
E avaliando em
:
Esse é o coeficiente do termo linear na série de Taylor.
Passo 5
Podemos decidir até qual ordem queremos expandir a série. Vamos parar na primeira derivada para uma aproximação linear:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A aproximação da função
na vizinhança de
usando a série de Taylor até a primeira derivada é: