Verifique se as funções abaixo satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. E se possível, calcule a derivada
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos a função
onde
. A ideia é a gente ver se essa função é diferenciável no sentido complexo, isto é, se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann. Se sim, a gente também vai calcular a derivada
.
O que vamos usar:
- Separar
em parte real e parte imaginária . - Calcular as derivadas parciais
. - Aplicar as condições de Cauchy-Riemann:
Passo 2
Primeiro, identificamos:
Agora, vamos às derivadas parciais:
-
. -
. -
. -
.
Passo 3
Aplicando as equações de Cauchy-Riemann:
-
Checar
: Beleza, está certo sempre. -
Checar
: Isso só vale se, ou seja, ⇒ .
Conclusão: a condição só bate quando
. Então, a função não é holomorfa no plano todo, só satisfaz as CR na reta real (
).
Passo 4
Mesmo na reta real, a gente pode formalmente achar uma “derivada” à moda complexa, mas como não é holomorfa em aberto, não se costuma falar em
no sentido clássico. Porém, se você quiser ver o quão a expressão está “parecendo” ter derivada quando
:
Na zona onde as CR valem (
), temos
então podemos dizer
Mas vale reforçar: isso só é consistente se
, e aí
é real. Fora disso, não existe
em aberto.
Resposta
A função satisfaz as equações de Cauchy-Riemann apenas na reta real (
), logo não é holomorfa no plano. Na reta real, dá para associar a derivada
.