Verifique se as funções abaixo satisfazem as equações de Cauchy-Riemann. E se possível, calcule a derivada f^prime(z).
f(z)=x^2+y^2+2 i x y

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos a função
f(z) = x^2 + y^2 + 2,i,x,y
onde partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x . A ideia é a gente ver se essa função é diferenciável no sentido complexo, isto é, se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann. Se sim, a gente também vai calcular a derivada .
O que vamos usar:
  • Separar em parte real e parte imaginária .
  • Calcular as derivadas parciais .
  • Aplicar as condições de Cauchy-Riemann:

Passo 2

Primeiro, identificamos:
u(x,y) = x^2 + y^2, v(x,y) = 2,x,y
Agora, vamos às derivadas parciais:
  1. .
  2. .
  3. .
  4. .

Passo 3

Aplicando as equações de Cauchy-Riemann:
  • Checar 2x stackrel?= 2x :
    2y stackrel?= -,2y
    Beleza, está certo sempre.
  • Checar :
    Isso só vale se , ou seja, .
Conclusão: a condição só bate quando . Então, a função não é holomorfa no plano todo, só satisfaz as CR na reta real ( ).

Passo 4

Mesmo na reta real, a gente pode formalmente achar uma “derivada” à moda complexa, mas como não é holomorfa em aberto, não se costuma falar em partial upartial x = 2x, partial vpartial y = 2x, no sentido clássico. Porém, se você quiser ver o quão a expressão está “parecendo” ter derivada quando f'(z) = partial upartial x + i,partial vpartial x = 2x + i,(2y) = 2x + i,(0) = 2x :
Na zona onde as CR valem ( ), temos
então podemos dizer
Mas vale reforçar: isso só é consistente se , e aí é real. Fora disso, não existe em aberto.

Resposta

A função satisfaz as equações de Cauchy-Riemann apenas na reta real ( ), logo não é holomorfa no plano. Na reta real, dá para associar a derivada .

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